Exercise 4.7: Spectra of ASK and BPSK

Leistungsdichtespektren von $q(t)$ und $s(t)$ – gültig für ASK und BPSK

Die Sendesignale von ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) können beide in der Form

$$s(t) = q(t) · z(t)$$

dargestellt werden, wobei $z(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_{\rm T}$ und der Amplitude $1$ darstellt. Die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$ ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.

Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole $±1$ gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.
Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: $a_ν ∈ \{0, 1\}$ – des Quellensignals

$$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$

anzusetzen, während im Fall der BPSK $a_ν ∈ \{-1, +1\}$ zu berücksichtigen ist.

In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren ${\it Φ}_q(f)$ und ${\it Φ}_s(f)$ von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls $g_q(t)$ mit der Amplitude $s_0 = 2 \ \rm V$ und der Dauer $T = 1 \ \rm µ s$ ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion:

$$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$

Zu bestimmen sind die Konstanten $A$, $B$, $C$ und $D$ für die Modulationsverfahren $\rm ASK$ und $\rm BPSK$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare digitale Modulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung im Buch „Digitalsignalübertragung”.
Die Leistungen sind in $\rm V^2$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.

Fragebogen

$A \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$

$B \ = \ $

$\ \rm V^2$

$C \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$

$D \ = \ $

$\ \rm V^2$

$A \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$

$B \ = \ $

$\ \rm V^2$

$C \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$

$D \ = \ $

$\ \rm V^2$

	Der kontinuierliche Anteil von $ {\it Φ}_q(f)$ ist formgleich mit $\|G_q(f)\|^2$.
	${\it Φ}_q(f)$ beinhaltet bei ASK eine einzige Diraclinie $($bei $f = 0)$.
	${\it Φ}_q(f)$ beinhaltet bei BPSK eine einzige Diraclinie $($bei $f = 0)$.

Musterlösung

Solution

(1) Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt $m_q = s_0/2$. Das Diracgewicht ist somit $B = m_q^2 = s_0^2/4\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm V^2}$.

Ohne diesen Gleichanteil ergäbe sich das stochastische Rechtecksignal $q(t) - m_q ∈ \{+s_0/2, -s_0/2\}$.
Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil $(s_0/2)^2 · T · {\rm si}^2(πfT)$.
Hieraus lässt sich der gesuchte Wert bei der Frequenz $f = 0$ ermitteln:

$$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$

(2) Das Spektrum $Z(f)$ eines Cosinussignals $z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $\pm f_{\rm T}$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$.

Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht $1/4$.
Die Faltung ${\it Φ}_q(f) ∗ {\it Φ}_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt:

$$C = {A}/{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = {B}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$

Anmerkung: Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über ${\it Φ}_s(f)$:

$$P_{\rm S} = \int_{ - \infty }^\infty \hspace{-0.3cm} {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 2 \cdot \int_{ 0 }^\infty \hspace{-0.3cm} {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm d}f= 2 \cdot \left [ \frac{C}{T} + D \right ] = 2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}} + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1 \,{\rm V^{2}}}.$$

(3) Bei BPSK ist das Quellensignal $q(t)$ bipolar anzusetzen.

Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie ⇒ $\underline{B = 0}$.
Der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß wie bei der ASK:

$$A = {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$

(4) Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:

$$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$

(5) Richtig ist nur die erste Aussage:

Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet ${\it Φ}_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn $g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht (gleichwahrscheinliche Symbole vorausgesetzt).
Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von $1/T$.

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf der Seite „AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen” im Buch „Digitalsignalübertragung”.