Pulses and Spectra

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Applet Description

Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale ⇒ „Impulse” $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich

Gaussian impulse,
rectangular impulse,
triangular impulse,
trapezoidal impulse,
cosine-rolloff impulse.

Weiter ist zu beachten:

Die Funktionen $x(t)$ bzw. $X(f)$ werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $x(t)$ (Signalwerte) bzw. $X(f)$ (Spektralwerte) sind jeweils normiert.

Theoretical background

Relationship $x(t)\Leftrightarrow X(f)$

Der Zusammenhang zwischen der Zeitfunktion $x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch das erste Fourierintegral gegeben:

$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm} \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$

Um aus der Spektralfunktion $X(f)$ die Zeitfunktion $x(t)$ berechnen zu können, benötigt man das zweite Fourierintegral:

$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm} {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$

In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:

$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$

$x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, beispielsweise $x(t)$ in $\rm V$, $X(f)$ in $\rm V/Hz$.
Der Zusammenhang zwischen diesem Modul und dem ähnlich aufgebauten Applet Frequenzgang & Impulsantwort basiert auf dem Vertauschungssatz.
Alle Zeiten sind auf eine Zeit $T$ normiert und alle Frequenzen auf $1/T$ ⇒ die Spektralwerte $X(f)$ müssen noch mit der Normierungszeit $T$ multipliziert werden.

$\text{Beispiel:}$ Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich Eins und außerhalb dieses Bereichs gleich Null. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft $\rm si$–förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.

Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren.
Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die erste Nullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.

Gaussian Impulse

Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/\Delta t)^2}.$$

Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
Der Wert bei $t = \Delta t/2$ ist um den Faktor $0.456$ kleiner als der Wert bei $t=0$.
Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{-\pi(f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t)^2} .$$

Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum ⇒ Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer.
Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $f$– bzw. $t$–Wert exakt gleich Null.
Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta t$ auf weniger als $0.1\% $ des Maximums abgefallen.

Rectangular Impulse

Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

Der $\pm \Delta t/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$

Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$.
Das Integral über der Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulshöhe $K$.

Triangular Impulse

Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe $K$ und der (äquivalenten) Dauer $\Delta t$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot (1-|t|/{\Delta t}) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

Die absolute Zeitdauer ist $2 \cdot \Delta t$; diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks.
Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$

Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite $\Delta t$.
Daraus folgt: $X(f)$ beinhaltet anstelle der ${\rm si}$-Funktion die ${\rm si}^2$-Funktion.
$X(f)$ weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen $1/\Delta f$ auf.
Der asymptotische Abfall von $X(f)$ erfolgt hier mit $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit $1/f$ abfällt.

Trapezoidal Impulse

Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

Der Sonderfall $r=0$ entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall $r=1$ dem Dreieckimpuls.
Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$

Der asymptotische Abfall von $X(f)$ liegt zwischen $1/f$ $($für Rechteck, $r=0)$ und $1/f^2$ $($für Dreieck, $r=1)$.

Cosine-rolloff Impulse

Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe $K$ und den Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot {\pi}/{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt: $\Delta t = t_1+t_2$.
Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

Der Sonderfall $r=0$ entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall $r=1$ dem Cosinus-Quadrat-Impuls.
Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

Je größer der Rolloff-Faktor $r$ ist, desto schneller nimmt $X(f)$ asymptotisch mit $f$ ab.

Cosinus-square Impulse

Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, \ t_2= \Delta t$:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}{2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot \big [{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))\big ]\cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

Wegen der letzten ${\rm si}$-Funktion ist $X(f)=0$ für alle Vielfachen von $F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
Aufgrund des Klammerausdrucks weist $X(f)$ nun weitere Nulldurchgänge bei $f=\pm1.5 F$, $\pm2.5 F$, $\pm3.5 F$, ... auf.
Für die Frequenz $f=\pm F/2$ erhält man die Spektralwerte $K\cdot \Delta t/2$.
Der asymptotische Abfall von $X(f)$ verläuft in diesem Sonderfall mit $1/f^3$.

Exercises

First select the number $(1,\text{...}, 7)$ of the exercise.
A task description is displayed. The parameter values are adjusted.
Solution after pressing "Show solution".
The number $0$ corresponds to a "Reset": Same setting as at program start.
"Red" refers to the first parameter set ⇒ $x_1(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$.
"Blue" refers to the second parameter set ⇒ $x_2(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
Values with magnitude less than $0.0005$ are output in the program as "zero".

(1) Compare the red Gaussian impulse $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$ with the blue rectangular impulse $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$ ⇒ default setting.
What are the differences in the time and frequency domain?

The Gaussian impulse theoretically reaches infinity in the time– as well as in the frequency domain.
Practically $x_1(t)$ for $|t| > 1.5$ and $X_1(f)$ for $|f| > 1.5$ are almost zero.
The rectangle is strictly limited in time: $x_2(|t| > 0.5) \equiv 0$. $X_2(f)$ has shares in a much larger range than $X_1(f)$.
It holds $X_1(f = 0) = X_2(f = 0)$ since the integral over the Gaussian impulse $x_1(t)$ is equal to the integral over the rectangular impulse $x_2(t)$.

(2) Compare the red Gaussian impulse $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$ with the blue rectangular impulse $(A_2 = 1, \Delta t_2)$.
Vary the equivalent impulse duration $\Delta t_2$ between $0.5$ and $2$. Interpret the displayed graphs.

One can recognize the reciprocity law of bandwidth and impulse duration. The greater $\Delta t_2$, the higher and narrower the spectral function $X_2(f)$.
For each setting of $\Delta t_2$, $x_1(t=0)$ and $x_2(t=0)$ are equal ⇒ Also, the integrals over $X_1(f)$ and $X_2(f)$ are identical.

(3) Compare the red Gaussian impulse $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$ with the blue rectangular impulse $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 0.5)$.
Vary $\Delta t_2$ between $0.05$ and $2$. Interpret the displayed graphs and extrapolate the result.

The blue spectrum is now twice as wide as the red one, but only half as high. First zero of $X_1(f)$ at $f = 1$, of $X_2(f)$ at $f = 2$.
Reduction of $\Delta t_2$: $X_2(f)$ lower and wider. Very flat course at $\Delta t_2 = 0.05$: $X_2(f = 0)= 0.05$, $X_2(f = \pm 3)= 0.048$.
If one choose $\Delta t_2 = \varepsilon \to 0$ (not possible in the program), the result would be the almost constant, very small spectrum $X_2(f)=A \cdot \varepsilon \to 0$.
Increasing the amplitude to $A=1/\varepsilon$ results in the constant spectral function $X_2(f) = 1$ of the Dirac function $\delta(t)$. That means:
$\delta(t)$ is approximated by a rectangle $($width $\Delta t = \varepsilon \to 0$, height $A = 1/\varepsilon \to \infty)$. The weight of the Dirac function is one: $x(t) = 1 \cdot \delta (t)$.

(4) Compare the rectangular impulse $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$ with the triangular impulse $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$. Interpret the spectral functions.

The (normalized) spectrum of the rectangle $x_1(t)$ with the (normalized) parameters $A_1 = 1, \ \ \Delta t_1 = 1$ is: $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
The convolution of the rectangle $x_1(t)$ with itself gives the triangle $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$. By the convolution theorem: $X_2(f) = X_1(f)^2 $.
By squaring the $\rm si$–shaped spectral function $X_1(f)$ the zeros of $X_2(f)$ remain unchanged. But now it holds that: $X_2(f) \ge 0$.

(5) Compare the trapezoidal impulse $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$ with the triangular impulse $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$.
Vary $r_1$ between $0$ and $1$. Interpret the spectral function $X_1(f)$.

The trapezoidal impulse with roll–off factor $r_1= 0$ is identical to the rectangular impulse. The „normalized spectrum” is $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
The trapezoidal impulse with roll–off factor $r_1= 1$ is identical to the triangular impulse. The „normalized spectrum” is $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$.
In both cases $X_1(f)$ has equidistant zeros at $\pm 1$, $\pm 2$, ... (none else); $0 < r_1 < 1$: depending on $r_1$ further zeros.

(6) Compare this trapezoidal impulse with the cosine-rolloff impulse $(A_2 = 1,\ \Delta t_2 = 1.0,\ r_2 = 0.5)$.
Vary $r_2$ between $0$ and $1$. Interpret the spectral function $X_2(f)$ for $r_2 = 0.7$.

With the same $r= 0.5$ the cosine-rolloff impulse $X_2(f)$ is for $f > 1$ greater in amount than the trapezoidal impulse.
With the same rolloff factor $(r_1 = r_2= 0.5)$ the drop of $X_2(f)$ around the frequency $f = 0.5$ is steeper than the drop of $X_1(f)$.
With $r_1 = 0.5$ and $r_2 = 0.7$ $x_1(t) \approx x_2(t)$ is valid and therefore also $X_1(f) \approx X_2(f)$. Comparable edge steepness.

(7) Compare the red trapezoidal impulse $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, \ r_1 = 1)$ with the blue cosine-rolloff impulse $(A_2 = 1,\ \Delta t_2 = 1.0, \ r_2 = 1)$.
Interpret the time function $x_2(t)$ and the spectral function $X_2(f)$ system theoretically.

$x_2(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \ \text{for} \ |t| \le 1$ is the cosine-square impulse. Zeros at $f = \pm 1$, $\pm 2$, ...
For the frequency $f=\pm 0.5$ one obtains the spectral values $X_2(f)=0.5$. The asymptotic decline is shown here with $1/f^3$.

Applet Manual

(A) Bereich der graphischen Darstellung für $x(t)$

(B) Bereich der graphischen Darstellung für $X(f)$

(C) Variationsmöglichkeit für die graphischen Darstellungen

(D) Parametereingabe per Slider
links (rot): „Pulse 1”, rechts (blau): „Pulse 2”

(E) Parameter entsprechend der Voreinstellung ⇒ „Reset”

(F) Einstellung von $t_*$ und $f_*$ für Numerikausgabe

(G) Numerikausgabe von $x(t_*)$ und $X(f_*)$
links (rot): „Pulse 1”, rechts (blau): „Pulse 2”

Details zum obigen Punkt (C)

(*) Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

(*) Verschiebe–Funktionen „$\leftarrow$” (Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts) sowie „$\uparrow$” „$\downarrow$” „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.

About the authors

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2005 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder und Klaus Eichin).
2017 wurde „Impulse & Spektren” von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
Letztmalige Überarbeitung 2020 durch Carolin Mirschina im Rahmen einer Werkstudententätigkeit.

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