Pulses and Spectra

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Applet Description

Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale   ⇒   „Impulse”  $x(t)$  und die dazugehörigen Spektralfunktionen  $X(f)$, nämlich

• Gaussian impulse, 
• rectangular impulse,  
• triangular impulse, 
• trapezoidal impulse, 
• cosine-rolloff impulse.

Weiter ist zu beachten:

• Die Funktionen  $x(t)$  bzw.  $X(f)$  werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
• Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
• Die Abszissen  $t$  (Zeit) und  $f$  (Frequenz) sowie die Ordinaten  $x(t)$  (Signalwerte) bzw.  $X(f)$  (Spektralwerte) sind jeweils normiert.

Theoretical background

Relationship $x(t)\Leftrightarrow X(f)$

• Der Zusammenhang zwischen der Zeitfunktion  $x(t)$  und dem Spektrum  $X(f)$  ist durch das  erste Fourierintegral  gegeben:

$$X(f)={\rm FT} [x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm} \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$

• Um aus der Spektralfunktion  $X(f)$  die Zeitfunktion  $x(t)$  berechnen zu können, benötigt man das  zweite Fourierintegral:

$$x(t)={\rm IFT} [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm} {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$

• In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen.  Somit gilt:

$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$

• $x(t)$  und  $X(f)$  haben unterschiedliche Einheiten, beispielsweise  $x(t)$  in  $\rm V$,  $X(f)$  in  $\rm V/Hz$.
• Der Zusammenhang zwischen diesem Modul und dem ähnlich aufgebauten Applet  Frequenzgang & Impulsantwort  basiert auf dem  Vertauschungssatz.
• Alle Zeiten sind auf eine Zeit  $T$  normiert und alle Frequenzen auf  $1/T$   ⇒   die Spektralwerte  $X(f)$  müssen noch mit der Normierungszeit  $T$  multipliziert werden.

$\text{Beispiel:}$   Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude  $A_1 = 1$  und äquivalenter Impulsdauer  $\Delta t_1 = 1$  ein, so ist  $x_1(t)$  im Bereich  $-0.5 < t < +0.5$  gleich Eins und außerhalb dieses Bereichs gleich Null.  Die Spektralfunktion  $X_1(f)$  verläuft  $\rm si$–förmig mit  $X_1(f= 0) = 1$  und der ersten Nullstelle bei  $f=1$.

• Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit  $A = K = 3 \ \rm V$  und  $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$  nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit  $K = 3 \ \rm V$  und alle Spektralwerte mit  $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$  zu multiplizieren.
• Der maximale Spektralwert ist dann  $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$  und die erste Nullstelle liegt bei  $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.

Gaussian Impulse

• Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:

$$x(t)=K\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/\Delta t)^2}.$$

• Die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
• Der Wert bei  $t = \Delta t/2$  ist um den Faktor  $0.456$  kleiner als der Wert bei  $t=0$.
• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm e}^{-\pi(f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t)^2} .$$

• Je kleiner die äquivalente Zeitdauer  $\Delta t$  ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum   ⇒   Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer.
• Sowohl  $x(t)$  als auch  $X(f)$  sind zu keinem  $f$–  bzw.  $t$–Wert exakt gleich Null.
• Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden.  Zum Beispiel ist  $x(t)$  bereits bei  $t=1.5 \Delta t$  auf weniger als  $0.1\%$  des Maximums abgefallen.

Rectangular Impulse

• Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K /2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < T/2,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| = T/2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| > T/2.} \\ \end{array}$$

• Der  $\pm \Delta t/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
• Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$

• Der Spektralwert bei  $f=0$  ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
• Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen  $1/\Delta t$.
• Das Integral über der Spektralfunktion  $X(f)$  ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt  $t=0$, also der Impulshöhe  $K$.

Triangular Impulse

• Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe  $K$  und der (äquivalenten) Dauer  $\Delta t$  lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot (1-|t|/{\Delta t}) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

• Die absolute Zeitdauer ist  $2 \cdot \Delta t$;  diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks.
• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot {\rm si}^2(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$

• Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite  $\Delta t$.
• Daraus folgt:  $X(f)$  beinhaltet anstelle der  ${\rm si}$-Funktion die  ${\rm si}^2$-Funktion.
• $X(f)$  weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen  $1/\Delta f$  auf.
• Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  erfolgt hier mit  $1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit  $1/f$  abfällt.

Trapezoidal Impulse

Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \frac{t_2-|t|}{t_2-t_1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

• Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:   $\Delta t = t_1+t_2$.
• Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

• Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall  $r=1$  dem Dreieckimpuls.
• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t \cdot f)\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \quad {\rm si}(x)=\frac{\sin(x)}{x}.$$

• Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  liegt zwischen  $1/f$  $($für Rechteck,  $r=0)$  und  $1/f^2$  $($für Dreieck,  $r=1)$.

Cosine-rolloff Impulse

Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe  $K$  und den Zeitparametern  $t_1$  und  $t_2$  lautet:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K \\ K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|-t_1}{t_2-t_1}\cdot {\pi}/{2}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\quad \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| \le t_1,} \\ {t_1\le \left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \le t_2,} \\ {\left|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \right| \ge t_2.} \\ \end{array}$$

• Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:   $\Delta t = t_1+t_2$.
• Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit:

$$r=\frac{t_2-t_1}{t_2+t_1}.$$

• Der Sonderfall  $r=0$  entspricht dem Rechteckimpuls und der Sonderfall  $r=1$  dem Cosinus-Quadrat-Impuls.
• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot \frac{\cos(\pi \cdot r\cdot \Delta t \cdot f)}{1-(2\cdot r\cdot \Delta t \cdot f)^2} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

• Je größer der Rolloff-Faktor  $r$  ist, desto schneller nimmt  $X(f)$  asymptotisch mit  $f$  ab.

Cosinus-square Impulse

• Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für  $r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, \ t_2= \Delta t$:

$$x(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}K\cdot \cos^2\Big(\frac{|t|\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}{2\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \Delta t}\Big) \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t,} \\ {\left| \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \right| \ge \Delta t.} \\ \end{array}$$

• Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:

$$X(f)=K\cdot \Delta f \cdot \frac{\pi}{4}\cdot \big [{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f +0.5))+{\rm si}(\pi(\Delta t\cdot f -0.5))\big ]\cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta t \cdot f).$$

• Wegen der letzten  ${\rm si}$-Funktion ist  $X(f)=0$  für alle Vielfachen von  $F=1/\Delta t$.  Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten.
• Aufgrund des Klammerausdrucks weist  $X(f)$  nun weitere Nulldurchgänge bei  $f=\pm1.5 F$,  $\pm2.5 F$,  $\pm3.5 F$, ... auf.
• Für die Frequenz  $f=\pm F/2$  erhält man die Spektralwerte  $K\cdot \Delta t/2$.
• Der asymptotische Abfall von  $X(f)$  verläuft in diesem Sonderfall mit  $1/f^3$.

Exercises

• First select the number  $(1,\text{...}, 7)$  of the exercise.
  
• A task description is displayed.  The parameter values ​​are adjusted.
• Solution after pressing "Show solution".
  
• The number  $0$  corresponds to a "Reset":  Same setting as at program start.
• "Red" refers to the first parameter set ⇒ $x_1(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$.
  
• "Blue" refers to the second parameter set ⇒ $x_2(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$.
• Values with magnitude less than  $0.0005$  are output in the program as "zero".

(1)   Compare the  red Gaussian impulse  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$  with the  blue rectangular impulse  $(A_2 = 1, \Delta t_2 = 1)$ ⇒ default setting.
          What are the differences in the time and frequency domain?

• The Gaussian impulse theoretically reaches infinity in the time– as well as in the frequency domain.
  
• Practically  $x_1(t)$  for  $|t| > 1.5$  and  $X_1(f)$  for  $|f| > 1.5$  are almost zero.
  
• The rectangle is strictly limited in time:  $x_2(|t| > 0.5) \equiv 0$.  $X_2(f)$  has shares in a much larger range than  $X_1(f)$.
  
• It holds  $X_1(f = 0) = X_2(f = 0)$  since the integral over the Gaussian impulse  $x_1(t)$  is equal to the integral over the rectangular impulse  $x_2(t)$.

(2)   Compare the  red Gaussian impulse  $(A_1 = 1,  \Delta t_1 = 1)$ with the  blue rectangular impulse  $(A_2 = 1,  \Delta t_2)$.
          Vary the equivalent impulse duration  $\Delta t_2$  between  $0.5$  and  $2$.  Interpret the displayed graphs.

• One can recognize the reciprocity law of bandwidth and impulse duration.  The greater  $\Delta t_2$, the higher and narrower the spectral function  $X_2(f)$.
  
• For each setting of  $\Delta t_2$,  $x_1(t=0)$  and  $x_2(t=0)$  are equal   ⇒   Also, the integrals over  $X_1(f)$  and  $X_2(f)$  are identical.

(3)   Compare the  red Gaussian impulse  $(A_1 = 1,  \Delta t_1 = 1)$ with the  blue rectangular impulse  $(A_2 = 1,  \Delta t_2 = 0.5)$.
          Vary  $\Delta t_2$  between  $0.05$  and  $2$.  Interpret the displayed graphs and extrapolate the result.

• The blue spectrum is now twice as wide as the red one, but only half as high.  First zero of  $X_1(f)$  at  $f = 1$, of  $X_2(f)$  at  $f = 2$.
  
• Reduction of  $\Delta t_2$:  $X_2(f)$  lower and wider.  Very flat course at  $\Delta t_2 = 0.05$:  $X_2(f = 0)= 0.05$,  $X_2(f = \pm 3)= 0.048$.
  
• If one choose  $\Delta t_2 = \varepsilon \to 0$  (not possible in the program),  the result would be the almost constant, very small spectrum  $X_2(f)=A \cdot \varepsilon \to 0$.
  
• Increasing the amplitude to  $A=1/\varepsilon$  results in the constant spectral function  $X_2(f) = 1$  of the Dirac function  $\delta(t)$.  That means:
  
• $\delta(t)$  is approximated by a rectangle  $($width  $\Delta t = \varepsilon \to 0$,  height  $A = 1/\varepsilon \to \infty)$.  The weight of the Dirac function is one:  $x(t) = 1 \cdot \delta (t)$.

(4)   Compare the  rectangular impulse  $(A_1 = 1,   \Delta t_1 = 1)$  with the  triangular impulse  $(A_2 = 1,   \Delta t_2 = 1)$.  Interpret the spectral functions.

• The (normalized) spectrum of the rectangle  $x_1(t)$  with the (normalized) parameters  $A_1 = 1, \ \ \Delta t_1 = 1$  is:  $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
  
• The convolution of the rectangle  $x_1(t)$  with itself gives the triangle  $x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$.  By the convolution theorem:   $X_2(f) = X_1(f)^2$.
  
• By squaring the  $\rm si$–shaped spectral function  $X_1(f)$  the zeros of  $X_2(f)$  remain unchanged.  But now it holds that: $X_2(f) \ge 0$.

(5)   Compare the  trapezoidal impulse  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$  with the  triangular impulse $(A_2 = 1,   \Delta t_2 = 1)$.
         Vary  $r_1$  between  $0$  and  $1$.  Interpret the spectral function  $X_1(f)$.

• The trapezoidal impulse with roll–off factor  $r_1= 0$  is identical to the rectangular impulse.  The „normalized spectrum” is  $X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$.
  
• The trapezoidal impulse with roll–off factor  $r_1= 1$  is identical to the triangular impulse.  The „normalized spectrum” is  $X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$.
  
• In both cases  $X_1(f)$  has equidistant zeros at  $\pm 1$,  $\pm 2$, ...  (none else);   $0 < r_1 < 1$:  depending on  $r_1$  further zeros.

(6)   Compare this  trapezoidal impulse  with the cosine-rolloff impulse  $(A_2 = 1,\ \Delta t_2 = 1.0,\ r_2 = 0.5)$.
         Vary  $r_2$  between  $0$  and  $1$.  Interpret the spectral function  $X_2(f)$  for  $r_2 = 0.7$.

• With the same  $r= 0.5$  the cosine-rolloff impulse  $X_2(f)$ is for  $f > 1$  greater in amount than the trapezoidal impulse.
  
• With the same rolloff factor  $(r_1 = r_2= 0.5)$  the drop of  $X_2(f)$  around the frequency  $f = 0.5$  is steeper than the drop of  $X_1(f)$.
  
• With  $r_1 = 0.5$  and  $r_2 = 0.7$  $x_1(t) \approx x_2(t)$  is valid and therefore also  $X_1(f) \approx X_2(f)$.  Comparable edge steepness.

(7)   Compare the  red trapezoidal impulse  $(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, \ r_1 = 1)$  with the  blue cosine-rolloff impulse  $(A_2 = 1,\ \Delta t_2 = 1.0, \ r_2 = 1)$.
          Interpret the time function  $x_2(t)$  and the spectral function  $X_2(f)$  system theoretically.

• $x_2(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \ \text{for} \ |t| \le 1$  is the  cosine-square impulse.  Zeros at  $f = \pm 1$,  $\pm 2$, ...
  
• For the frequency  $f=\pm 0.5$  one obtains the spectral values  $X_2(f)=0.5$.  The asymptotic decline is shown here with  $1/f^3$.

Applet Manual

    (A)     Bereich der graphischen Darstellung für  $x(t)$

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung für  $X(f)$

    (C)     Variationsmöglichkeit für die graphischen Darstellungen

    (D)     Parametereingabe per Slider
                      links (rot):   „Pulse 1”,         rechts (blau):   „Pulse 2”

    (E)     Parameter entsprechend der Voreinstellung   ⇒   „Reset”

    (F)     Einstellung von  $t_*$  und  $f_*$  für Numerikausgabe

    (G)     Numerikausgabe von  $x(t_*)$  und  $X(f_*)$
                      links (rot): „Pulse 1”,         rechts (blau): „Pulse 2”

Details zum obigen Punkt (C)

    (*)   Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

    (*)   Verschiebe–Funktionen „$\leftarrow$” (Bildausschnitt nach links, Ordinate nach rechts) sowie „$\uparrow$” „$\downarrow$” „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

• Bei gedrückter Shifttaste und Scrollen kann im Koordinatensystem gezoomt werden.
• Bei gedrückter Shifttaste und gedrückter linker Maustaste kann das Koordinatensystem verschoben werden.

About the authors

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder und Klaus Eichin).
• 2017 wurde „Impulse & Spektren” von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
• Letztmalige Überarbeitung 2020 durch  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit.

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