Exercise 4.2Z: Multiplication with a Sine Signal

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Spektralfunktionen  $Q(f)$  und  $Z(f)$

Betrachtet wird ein periodisches Nachrichtensignal  $q(t)$, dessen Spektralfunktion  $Q(f)$  in der oberen Grafik zu sehen ist.

Eine Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger  $z(t)$, dessen Spektrum  $Z(f)$  ebenfalls dargestellt ist, führt zum Signal  $s(t) = q(t) \cdot z(t).$

In dieser Aufgabe soll die Spektralfunktion  $S(f)$  dieses Signals ermittelt werden, wobei die Lösung entweder im Zeit– oder im Frequenzbereich erfolgen kann.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass– und Bandpass–Signalen.

Fragebogen

1

Geben Sie das Quellensignal  $q(t)$  in analytischer Form an. Welche Werte ergeben sich für  $t = 0$  und  $t = 0.125\, \text{ms}$?

$q(t = 0)\ = \ $  $\text{V}$

$q(t = 0.125 \,\text{ms})\ = \ $ $\text{V}$

2

Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal  $z(t)$? Wie groß ist dessen Maximalwert?

$z_{\rm max}\ = \ $

3

Berechnen Sie die Spektrum  $S(f)$  getrennt nach Real– und Imaginärteil. Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil ungleich Null?

	$3\ \text{kHz},$
	$4\ \text{kHz},$
	$5\ \text{kHz},$
	$6\ \text{kHz},$
	$7\ \text{kHz}.$

4

Bei welchen Frequenzen treten rein imaginäre Spektrallinien auf?

	$3\ \text{kHz},$
	$4\ \text{kHz},$
	$5\ \text{kHz},$
	$6\ \text{kHz},$
	$7\ \text{kHz}.$

Musterlösung

Solution

(1)  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen  $f_1 = 1\ \text{kHz}$  und  $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$  wie folgt darstellen  $($es gilt  $f_2 = 2f_1)$:

$$q(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 4 \pi f_1 t)= 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi {t}/{T_1}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 4 \pi {t}/{T_1}) .$$

• Zum Zeitpunkt  $t = 0$  verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich  $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$.
• Dagegen erhält man für  $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$:

$$q(t = 0.125{\rm ms}) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( {\pi}/{4}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( {\pi}/{2}) = \frac {4\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\sqrt{2}} - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$

(2)  Entsprechend dem rein imaginären Spektrum  $Z(f)$  und den Impulsgewichten  $\pm 3$  muss gelten:

$$z(t ) = 6 \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$

Diskretes Bandpass&ndasH;Spektrum

(3)  Die Spektralfunktion  $S(f)$  ergibt sich aus der Faltung zwischen  $Q(f)$  und  $Z(f)$. Man erhält:

$$S(f) = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+ f_{\rm T}).$$

Es ergeben sich Spektrallinien bei

• $3\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$,
• $4\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
• $6\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
• $7\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$.

Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen.

Linien mit reellen Gewichten bei  $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$  und  $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.

(4)  Imaginäre Linien treten bei  $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$  und  $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.

Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen.

Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel  $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt:

$$4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= \frac{12\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\sin} ( 2 \pi f_4 \hspace{0.03cm} t)+ {\sin} ( 2 \pi f_6 \hspace{0.03cm} t)\big],$$

$$-2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_2 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= \frac{-6\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\cos} ( 2 \pi f_3 \hspace{0.03cm} t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$

• Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:

• bei  $+f_4$  bzw.  $-f_4$  mit den Gewichten  $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$  bzw.  $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,

• bei  $+f_6$  bzw.  $-f_6$  mit den Gewichten  $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$  bzw.  $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.

• Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien  (alle  $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei  $\pm f_3$  und  $\pm f_7$.

Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen.