Fourier Series

General Description

Every periodic function $x(t)$ can be fragmented into a trigonometric series, which is called Fourier series, in all areas, where it is continuous or has only finite discontinuities.

$\text{Definition:}$ The Fourier series of a periodic signal $x(t)$ is defined as follows

$$x(t) =A_0+\sum^{\infty}_{n=1}A_{\it n} \cdot\cos(n \omega_0 t)+\sum^{\infty}_{n=1} B_n \cdot \sin(n \omega_0 t).$$

Here the symbols denote the following definitions:

$A_0$ the constant component of $x(t)$,
$A_n$ the cosine coefficients with $n \ge 1$,
$B_n$ the sine coefficients mit $n \ge 1$,
$\omega_0 = 2\pi/T_0$ the angular frequency of the periodic signal $(T_0$ is the period duration$)$.

If the Fourier series is to exactly match the actual periodic signal $x(t)$ , an infinite number of cosine and sine coefficients must generally be used for calculation.

If the Fourier series is interrupted and only $N$ of $A_n$ and $B_n$ coefficients is used, then a slightly different plot of the function results except for some special cases:

$$x_ N(t) =A_0+\sum^N_{n=1}A_ n \cdot \cos(n \omega_0 t)+\sum^N_{n=1} B_{n} \cdot \sin(n \omega_0 t).$$

The relation between the periodic signal $x(t)$ and the Fourier series approximation $x_N(t)$ holds:

$$x(t)=\lim_{N\to \infty} x_{N}(t).$$

If $N \cdot f_0$ is the highest frequency occurring in the signal $x(t)$ then of course $x_N(t) = x(t)$.

$\text{Example 1:}$ We consider two periodic square wave signals, each with the period duration $T_0$ and the fundamental frequency $\omega_0 = 2\pi/T_0$.

Even and Odd Rectangle Pulse

For the even time signal sketched above: $x_{\rm g}(-t) = x_{\rm g}(t)$.
The function shown below is odd: $x_{\rm u}(-t) = -x_{\rm u}(t)$.

One finds the fourier series representations of both signals in formularies:

$$x_{\rm g}(t)=\frac{4}{\pi}\left [ \cos(\omega_0 t)-\frac{1}{3}\cdot \cos(3 \omega_0 t)+\frac{1}{5}\cdot\cos(5 \omega_0 t)- \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}\right ],$$

$$x_{\rm u}(t)=\frac{4}{\pi}\left [ \sin(\omega_0 t)+\frac{1}{3}\cdot\sin(3 \omega_0 t)+\frac{1}{5}\cdot\sin(5 \omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} \right ].$$

Because of the generally valid relationship

$$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\, {-}\, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} \, {+} \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}=\frac{\pi}{4}$$

the amplitudes (maximum values) of the two rectangle pulses result to $1$.

This can also be verified using the signal curves in the above graphic:

$$x_{\rm g}(t = 0) = x_{\rm u}(t = T_0/4) = 1.$$

Calculation of the Fourier Coefficients

The Fourier coefficient $A_0$ specifies the constant component which can be determined by averaging over the signal course $x(t)$ . Due to the periodicity, averaging over one period is sufficient:

$$A_0=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x(t)\,{\rm d}t.$$

The integration limits can also be selected from $t = 0$ to $t = T_0$ (or over a differently defined period of equal length).

The determination of the Fourier coefficients $A_n$ and $B_n$ $(n \ge 1)$ is based on the property that the harmonic cosine functions and sine functions are so-called orthogonal functions . For them the following applies:

$$\int^{+T_0/2}_{-T_0/2}\cos(n \omega_0 t)\cdot\cos(m \omega_0 t)\,{\rm d}t=\left \{{T_0/2\atop 0}{\rm\quad if \it \quad m=n,\atop \rm sonst} \right.$$

$$\int ^{+T_0/2}_{-T_0/2}\sin(n\omega_0 t)\cdot\sin(m \omega_0 t)\,{\rm d}t=\left \{{T_0/2\atop 0}{\rm\quad if \it \quad m=n,\atop \rm sonst} \right.$$

$$\int ^{+T_0/2}_{-T_0/2}\cos(n \omega_0 t)\cdot\sin(m \omega_0 t)\,{\rm d}t=0 \quad \rm f\ddot{u}r\quad alle \ \it m, \ n.$$

$\text{Conclusion:}$ Considering these equations, the cosine coefficients $A_n$ and the sine coefficients $B_n$ result as follows

$$A_{\it n}=\frac{2}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x(t)\cdot\cos(n \omega_0 t)\,{\rm d}t,$$

$$B_{\it n}=\frac{2}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x(t)\cdot\sin(n \omega_0 t)\,{\rm d}t.$$

The german learning video Calculating the Fourier Coefficients illustrates these equations.

On Calculating the Fourier Coefficients

$\text{Example 2:}$ We consider the drawn periodic time function

$$x(t)=0.4+0.6\cdot \cos(\omega_0 t)-0.3\cdot\sin(3 \omega_0 t).$$

Since the integral of the cosine and sine functions is identical to zero over one period in each case, one obtains for the DC signal coefficient $A_0 = 0.4$.

One determines the cosine coefficient $A_1$ with the following equations $($Integration limits from $t = 0$ to $t = T_0)$:

$$ \begin{align*} A_{1}=\frac{2}{T_0}\cdot \int^{T_0}_{0}\hspace{-0.3cm}0.4\cdot\cos(\omega_0 t)\,{\rm d}t + \frac{2}{T_0}\cdot \int^{T_0}_{0}\hspace{-0.3cm}0.6\cdot\cos^2(\omega_0 t)\,{\rm d}t - \frac{2}{T_0}\cdot \int^{T_0}_{0}\hspace{-0.3cm}0.3\cdot\sin(3 \omega_0 t)\cdot \cos(\omega_0 t)\,{\rm d}t.\end{align*} $$

Das letzte Integral ist aufgrund der Orthogonalität gleich Null; das erste ist ebenfalls Null (Integral über eine Periode).

Nur der mittlere Term liefert hier einen Beitrag zu $A_1$, nämlich $2 · 0.6 · 0.5 = 0.6. $
Bei allen weiteren ($n \ge 2$) Cosinuskoeffizienten liefern alle drei Integrale den Wert Null, und es gilt somit stets $A_{n \hspace{0.05cm}\neq \hspace{0.05cm}1}=0$.

Die Bestimmungsgleichungen für die Sinuskoeffizienten $B_n$ lauten entsprechend:

$$ \begin{align*} B_{\it n}=\frac{2}{T_0}\cdot \int^{T_0}_{0}\hspace{-0.3cm}0.4 \cdot \sin(n \ \omega_0 t)\,{\rm d}t + \frac{2}{T_0} \cdot \int^{T_0}_{0}\hspace{-0.3cm}0.6\cdot \cos(\omega_0 t) \sin(n \omega_0 t)\,{\rm d}t - \frac{2}{T_0}\cdot \int^{T_0}_{0}\hspace{-0.3cm}0.3\cdot \sin(3 \omega_0 t) \sin(n \omega_0 t )\,{\rm d}t. \end{align*} $$

Für $n \hspace{0.05cm}\neq \hspace{0.05cm}3$ sind alle drei Integralwerte gleich Null und damit gilt auch $B_{n \hspace{0.05cm}\neq \hspace{0.05cm}3} = 0.$
Dagegen liefert für $n=3$ das letzte Integral einen Beitrag, und man erhält für den Sinuskoeffizienten $B_3 = -0.3.$

Exploitation of Symmetries

Einige Erkenntnisse über die Fourierkoeffizienten $A_n$ und $B_n$ lassen sich bereits aus den Symmetrieeigenschaften der Zeitfunktion $x(t)$ ablesen.

Ist das Zeitsignal $x(t)$ eine gerade Funktion ⇒ achsensymmetrisch um die Ordinate $(t = 0)$, so verschwinden alle Sinuskoeffizienten $B_n$, da die Sinusfunktion selbst eine ungerade Funktion ist ⇒ $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$$B_n = 0 \hspace{0.4cm}(n = 1, \ 2, \ 3, \text{...}).$$

Eine ungerade Funktion $x(t)$ ist punktsymmetrisch um den Koordinatenursprung $(t= 0; \ x =0)$. Deshalb verschwinden hier alle Cosinuskoeffizienten $(A_n = 0)$, da die Cosinusfunktion selbst gerade ist. In diesem Fall ist auch der Gleichanteil $A_0$ stets Null.

$$A_n = 0 \hspace{0.4cm}(n = 0, \ 1, \ 2, \ 3, \text{...}).$$

Liegt eine Funktion ohne Gleichanteil vor $(A_0 = 0)$ und ist diese innerhalb einer Periode ungerade ⇒ es gilt $x(t) = -x(t - T_0/2)$, so sind in der Fourierreihendarstellung nur ungerade Vielfache der Grundfrequenz vorhanden. Für die Koeffizienten mit geradzahligem Index gilt dagegen stets:

$$A_n = B_n = 0 \hspace{0.4cm}(n = 2, \ 4, \ 6, \text{...}).$$

Sind alle Koeffizienten $A_n$ und $B_n$ mit geradzahligem Index $(n = 2, \ 4, \ 6, \text{...})$ gleich Null und der Koeffizient $A_0 \neq 0$, so bezieht sich die im letzten Punkt genannte Symmetrieeigenschaft auf den Gleichsignalanteil, und es gilt:

$$x(t) = 2 \cdot A_0 - x (t - T_0/2).$$

Anmerkung: Es können auch mehrere der enannten Symmetrieeigenschaften gleichzeitig erfüllt sein.

Die Symmetrieeigenschaften der Fourierkoeffizienten werden im ersten Teil des Lernvideos Eigenschaften und Genauigkeit der Fourierreihe zusammenfassend dargestellt.

Symmetrieeigenschaften der Fourierkoeffizienten

$\text{Beispiel 3:}$ Die oben genannten Eigenschaften werden nun an drei Signalverläufen verdeutlicht.

$x_1(t)$ ist eine mittelwertbehaftete Funktion ⇒ $A_0 \ne 0$ und zudem gerade, die dementsprechend ausschließlich durch Cosinuskoeffizienten $A_n$ bestimmt ist $(B_n = 0)$.

Dagegen sind bei der ungeraden Funktion $x_2(t)$ alle $A_n, \ ( n \ge 0)$ identisch Null.

Auch die ungerade Funktion $x_3(t)$ beinhaltet nur Sinuskoeffizienten, aber wegen $x_3(t) = -x_3(t - T_0/2)$ ausschließlich für ungeradzahlige Werte von $n$.

Complex Fourier Series

Wie auf der Seite Darstellung mit Cosinus- und Sinusanteil für den Fall einer harmonischen Schwingung bereits gezeigt wurde, kann man jedes beliebige periodische Signal

$$x(t) =A_0+\sum^{\infty}_{n=1}A_{\it n} \cdot\cos(n \omega_0 t)+\sum^{\infty}_{n=1} B_n \cdot \sin(n \omega_0 t)$$

auch mit Hilfe der Betrags- und Phasenkoeffizienten darstellen:

$$x(t) =C_0+\sum^{\infty}_{n=1}C_{\it n} \cdot\cos(n \omega_0 t-\varphi_n).$$

Diese modifizierten Fourierkoeffizienten weisen folgende Eigenschaften auf:

Der Gleichsignalkoeffizient $C_0$ ist identisch mit $A_0$.
Die Betragskoeffizienten lauten mit $n\ge 1$: $C_n = \sqrt{A_n^2 + B_n^2}$.
Für die Phasenkoeffizienten gilt: $\varphi_n = \arctan \hspace{0.05cm}(B_n/A_n$).

Mit der „Eulerschen Beziehung” $\cos(x) + {\rm j} \cdot \sin(x) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}x}$ erhält man eine zweite Darstellungsvariante der Fourierreihenentwicklung, die von der komplexen Exponentialfunktion ausgeht.

$\text{Definition:}$ Die komplexe Fourierreihe eines periodischen Signals x(t) lautet wie folgt:

$$x(t)=\sum^{+\infty}_{ n=- \infty}D_n\cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\omega_0\hspace{0.05cm} t}.$$

Hier bezeichnen $D_n$ die komplexen Fourierkoeffizienten, die

aus den Cosinuskoeffizienten $A_n$ und den Sinuskoeffizienten $B_n$, oder auch
aus den Betragskoeffizienten $C_n$ sowie den Phasenkoeffizienten $\varphi_n$

wie folgt berechnet werden können $($gültig für $n \neq 0)$:

$$D_n = 1/2\cdot (A_n - {\rm j}\cdot B_n) =1/2\cdot C_n\cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm} \varphi_n }$$

Die komplexen Fourierkoeffizienten kann man nach folgender Gleichung auch direkt berechnen:

$$D_n=\frac{1}{T_0}\cdot \int^{+T_0/2}_{-T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{-\rm j \hspace{0.05cm}\it n \hspace{0.1cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}t}\, {\rm d}t.$$

Solange das Integrationsintervall $T_0$ erhalten bleibt, kann man es ebenso wie bei den Koeffizienten $A_n$ und $B_n$ beliebig verschieben, zum Beispiel von $t = 0$ bis $t = T_0$.

$\text{Conclusion:}$ Der Koeffizient $D_0 = A_0$ ist stets reell. Für die komplexen Koeffizienten mit negativem Laufindex $(n < 0)$ gilt:

$$D_{- n}=D_n^{\hspace{0.05cm}\star} =1/2 \cdot (A_n+ {\rm j}\cdot B_n).$$

Periodic Signal Spectrum

Ausgehend von der gerade hergeleiteten komplexen Fourierreihe

$$x(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_{\it n}\cdot \rm e^{j \it n \omega_{\rm 0} t}$$

und dem Verschiebungssatz (für den Frequenzbereich) erhält man für das Spektrum eines periodischen Signals $x(t)$:

$$X(f)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}D_n\cdot\delta(f-n\cdot f_0).$$

Dies bedeutet:

Das Spektrum eines mit $T_0$ periodischen Signals ist ein Linienspektrum bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz $f_0 = 1/T_0$.
Der Gleichanteil liefert eine Diracfunktion bei $f=0$ mit dem Impulsgewicht $A_0$.
Daneben gibt es Diracfunktionen $\delta(f \pm n \cdot f_0)$ bei Vielfachen von $f_0$, wobei $\delta(f - n \cdot f_0)$ eine Diracfunktion bei $f= n \cdot f_0$ (also im positiven Frequenzbereich) und $\delta(f + n \cdot f_0)$ eine solche bei der Frequenz $f= -n \cdot f_0$ (im negativen Frequenzbereich) kennzeichnet.
Die Impulsgewichte sind im allgemeinen komplex.

Diese Aussagen werden nun anhand zweier Beispiele verdeutlicht.

$\text{Beispiel 4:}$ Wir betrachten – wie im $\text{Beispiel 1}$ zu Beginn dieses Abschnitts - zwei periodische Rechtecksignale, jeweils mit Periodendauer $T_0$ und Grundfrequenz $f_0=1/T_0$. Das obere Signal

$$x_{\rm g}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) - {1}/{3} \cdot \cos(3\omega_0 t)+{1}/{5}\cdot \cos(5\omega_0 t) - \, \text{...} \, + \, \text{...} \big]$$

ist eine gerade, aus verschiedenen Cosinusanteilen zusammengesetzte Funktion. Die zugehörige Spektralfunktion $X_{\rm g}(f)$ ist damit rein reell.

Begründung: Wie auf der Seite Spektraldarstellung eines Cosinussignals bereits beschrieben wurde, liefert die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei $\pm f_0$, jeweils gewichtet mit $2/\pi$.

Dieses Gewicht entspricht den (im Allgemeinen komplexen) Fourierkoeffizienten $D_1 = D_{ - 1}^\ast$, die nur im Sonderfall einer geraden Funktion reell sind.
Weitere Diracfunktionen gibt es bei $\pm 3f_0$ (negativ), $\pm 5f_0$ (positiv), $\pm 7f_0$ (negativ) usw.
Alle Phasenwerte $\varphi_n$ sind aufgrund der alternierenden Vorzeichen entweder Null oder $\pi$.

Spektrum eines periodischen Rechtecksignals

Die unten dargestellte Funktion $x_{\rm u}(t)$ ist ungerade:

$$x_{\rm u}(t)={4}/{\pi} \cdot \big[\sin(\omega_0 t)+{1}/{3} \cdot \sin(3\omega_0 t)+{1}/{5} \cdot \sin(5\omega_0 t)+ \, \text{...}\big].$$

Begründung: Wie im $\text{Beispiel 4}$ auf der Seite Allgemeine Spektraldarstellung bereits beschrieben wurde, liefert hier die Grundwelle zwei Diracfunktionen bei $+f_0$ $($gewichtet mit $-\text{j}\cdot 2/\pi)$ bzw. bei $-f_0$ $($gewichtet mit $+\text{j}\cdot 2/\pi)$.

Auch alle weiteren Diracfunktionen bei $\pm 3f_0$, $\pm 5f_0$, usw. sind rein imaginär und liegen in gleicher Richtung wie die Diracs bei $\pm f_0$.
Die beiden Betragsspektren sind gleich: $\vert X_{\rm u}(f)\vert = \vert X_{\rm g}(f) \vert$.

The Gibbs Phenomenon

Nicht jedes Signal eignet sich für die Fourierreihendarstellung. Hier einige Einschränkungen:

Eine wichtige Voraussetzung für die Konvergenz der Fourierreihe ist, dass das Signal nur endlich viele Unstetigkeitsstellen je Periode besitzen darf.
An denjenigen Stellen $t=t_i$, an denen $x(t)$ Sprünge aufweist, konvergiert die Reihe gegen den aus dem jeweiligen links– und rechtsseitigen Grenzwert gebildeten arithmetischen Mittelwert.
In der Umgebung solcher Sprungstellen kommt es in der Reihendarstellung meist zu hochfrequenten Oszillationen. Dieser Fehler ist von prinzipieller Art, das heißt, er ließe sich auch nicht vermeiden, wenn man unendlich viele Summanden berücksichtigen würde. Man spricht vom Gibbschen Phänomen, benannt nach dem Physiker Josiah Willard Gibbs.
Durch eine Erhöhung von $N$ wird zwar der fehlerhafte Bereich kleiner, nicht jedoch die maximale Abweichung zwischen $x(t)$ und der Fourierreihendarstellung $x_N(t)$. Der maximale Fehler beträgt ca. $9\%$ der Sprungamplitude – und zwar unabhängig von $N$.

Das Gibbsche Phänomen und weitere interessante Aspekte zu vergleichbaren Effekten werden im Lernvideo Eigenschaften der Fourierreihendarstellung behandelt.

$\text{Example 5:}$ In der linken Grafik sehen Sie gepunktet einen Ausschnitt eines periodischen $\pm 1$–Rechtecksignals und die dazugehörige Fourierreihendarstellung mit $N = 1$ (blau), $N = 3$ (rot) und $N = 5$ (grün) Summanden.

Die Grundwelle hat hier den Amplitudenwert $4/\pi \approx 1.27$.
Auch mit $N = 5$ (das bedeutet wegen $A_2 = A_4 = 0$ drei „relevante” Summanden) unterscheidet sich die Fourierreihe vom anzunähernden Rechtecksignal noch deutlich, vor allem im Bereich der Flanke.

Zum Gibbschen Phänomen

Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass die Flanke und der innere Bereich mit $N = 100$ relativ gut nachgebildet werden, es aber an der Sprungstelle aufgrund des Gibbschen Phänomens noch immer zu Überschwingern um $9\%$ kommt.

Da hier die Sprungamplituden jeweils gleich $2$ sind, ergeben sich die Maximalwerte näherungsweise zu $1.18$.
Mit $N = 1000$ wären die Überschwinger genau so groß, aber auf einen engeren Raum begrenzt und bei zeitdiskreter Darstellung eventuell nicht mehr zu erkennen.