Exercise 2.2Z: Non-Linearities

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Gleichanteil nach Nichtlinearitäten

Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal  ${x(t)}$  gemäß der oberen Abbildung aus.

Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal

$$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$

Eine zweite Nichtlinearität liefert das Signal

$$z(t)=x^2(t).$$

Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit  $x_0$,  $y_0$  bzw.  $z_0$  bezeichnet.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil  $x_0$  des Signals  ${x(t)}$.

$x_0\ = \ $   $\text{V}$

2

Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil  $y_0$  des Signals  ${y(t)}$.

$y_0\ = \ $   $\text{V}$

3

Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil  $z_0$  des Signals  ${z(t)}$.

$z_0\ = \ $   $\text{V}^2$

Musterlösung

Solution

(1)  Der Gleichsignalanteil  $x_0$  ist der Mittelwert des Signals  ${x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer  $T_0 = 1 \, \text{ms}$, und man erhält:

$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\,\rm V}.$$

(2)  In der Hälfte der Zeit ist  ${y(t)} = 1\, \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen  $0$  und  $1\, \text{V}$  mit dem Mittelwert bei  $0.5 \,\text{V}$  ⇒   $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.75 \,\text{V}}$.

(3)  Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung im Bereich von  $0$  bis  $T_0/2$.

• Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann:

$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$