Exercise 4.4Z: Pointer Diagram for SSB-AM

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Vorgegebenes Spektrum  $S_+(f)$

Betrachtet werden soll das analytische Signal  $s_+(t)$  mit dem Linienspektrum

$$S_{+}(f) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm 50})- {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot\delta (f - f_{\rm 60}).$$

Hierbei stehen  $f_{50}$  und  $f_{60}$  als Abkürzungen für die Frequenzen  $50 \ \text{kHz}$  bzw.  $60 \ \text{kHz}$.

Dieses analytische Signal könnte zum Beispiel bei der  Einseitenband–Amplitudenmodulation  (ESB-AM) eines sinusförmigen Nachrichtensignals  $($Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz})$  mit einem cosinusförmigen Trägersignal  $(f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz})$  auftreten, wobei nur das obere Seitenband übertragen wird (OSB-Modulation).

Das analytische Signal könnte aber auch durch eine  USB-Modulation  des gleichen Sinussignals entstehen, wenn ein sinusförmiges Trägersignal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 60 \ \text{kHz}$  verwendet wird.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion.

• Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul  Physikalisches Signal & Analytisches Signal  überprüfen.

Fragebogen

1

Geben Sie das analytische Signal  $s_+(t)$  formelmäßig an. Welcher Wert ergibt sich zum Startzeitpunkt  $t = 0$?

$\text{Re}[s_+(t = 0)]\ = \ $  $\text{V}$

$\text{Im}[s_+(t = 0)]\ = \ $  $\text{V}$

2

Zu welcher Zeit  $t_1$  tritt der erste Nulldurchgang des physikalischen Signals  $s(t)$  relativ zum ersten Nulldurchgang des  $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$  auf?
Hinweis:   Letzterer ist zur Zeit  $T_0/4 = 1/(4 \cdot f_{50}) = 5 \ µ \text{s}$.

	Es gilt  $t_1 < 5 \ {\rm µ} \text{s}$.
	Es gilt  $t_1 = 5 \ {\rm µ}\text{s}$.
	Es gilt  $t_1 > 5 \ {\rm µ} \text{s}$.

3

Welchen Maximalwert nimmt der Betrag  $|s_+(t)|$  an? Zu welchem Zeitpunkt  $t_2$  wird dieser Maximalwert zum ersten Mal erreicht?

$|s_+(t)|_{\rm max}\ = \ $  $\text{V}$

$t_2\ = \ $  ${\rm µ s}$

4

Zu welchem Zeitpunkt  $t_3$  ist die Zeigerlänge  $|s_+(t)|$  erstmalig gleich Null?

$t_3\ = \ $  ${\rm µ s}$

Musterlösung

Solution

Drei verschiedene analytische Signale

(1)  Das analytische Signal lautet allgemein:

$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } - {\rm j}\cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }.$$

Zum Zeitpunkt  $t = 0$  nehmen die komplexen Exponentialfunktionen jeweils den Wert  $1$  an und man erhält (siehe linke Grafik):

• $\text{Re}[s_+(t = 0)] \; \underline{= +1\ \text{V}}$,
• $\text{Im}[s_+(t = 0)]\; \underline{ = \,-\hspace{-0.08cm}1\ \text{V}}$.

(2)  Für das analytische Signal kann auch geschrieben werden:

$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm j} \cdot{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) - {\rm j} \cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$

Der Realteil hiervon beschreibt das tatsächliche, physikalische Signal:

$$s(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \cos({ \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t }) + {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot \sin({ \omega_{\rm 60}\hspace{0.05cm} t }).$$

Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Bei alleiniger Berücksichtigung des  $50 \ \text{kHz-Cosinussignals}$  würde der erste Nulldurchgang bei  $t_1 = T_0/4$  auftreten, also nach  $5 \ {\rm µ s}$, wobei  $T_0 = 1/f_{50} = 20 \ {\rm µ s}$  die Periodendauer dieses Signals bezeichnet.
• Das Sinussignal mit der Frequenz  $60 \ \text{kHz}$  ist während der gesamten ersten Halbwelle  $(0 \, \text{...} \, 8.33\ {\rm µ s})$  positiv.
• Aufgrund des Pluszeichens verzögert sich der erste Nulldurchgang von  $s(t) \ \Rightarrow \ t_1 > 5\ {\rm µ s}$.
• Die mittlere Grafik zeigt das analytische Signal zum Zeitpunkt  $t = T_0/4$, zu dem der rote Träger seinen Nulldurchgang hätte.
• Der Nulldurchgang des violetten Summenzeigers tritt erst dann auf, wenn dieser in Richtung der imaginären Achse zeigt. Dann gilt  $s(t_1) = \text{Re}[s_+(t_1)] = 0$.

(3)  Der Maximalwert von  $|s_+(t)|$  wird erreicht, wenn beide Zeiger in die gleiche Richtung weisen. Der Betrag des Summenzeigers ist dann gleich der Summe der beiden Einzelzeiger; also  $\underline {2\ \text{ V}}$.

Dieser Fall wird zum ersten Mal dann erreicht, wenn der schnellere Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{60}$  seinen „Rückstand” von  $90^{\circ} \; (\pi /2)$  gegenüber dem langsameren Zeiger  ($\omega_{50}$)  aufgeholt hat:

$$\omega_{\rm 60} \cdot t_2 - \omega_{\rm 50}\cdot t_2 = \frac{\pi}{2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}t_2 = \frac{\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} = \frac{1}{4 \cdot(f_{\rm 60}- f_{\rm 50})}\hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 25 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$

• Zu diesem Zeitpunkt haben die beiden Zeiger  $5/4$  bzw.  $6/4$  Umdrehungen zurückgelegt und weisen beide in Richtung der imaginären Achse (siehe rechte Grafik).
• Das tatsächliche, physikalische Signal  $s(t)$ – also der Realteil von  $s_+(t)$ – ist deshalb in diesem Moment gleich Null.

(4)  Bedingung für  $|s_+(t_3)| = 0$  ist, dass zwischen den beiden gleich langen Zeigern ein Phasenversatz von  $180^\circ$  besteht, sodass sie sich auslöschen.

• Dies bedeutet weiter, dass der schnellere Zeiger um  $3\pi /2$  weiter gedreht hat als der  $50 \ \text{kHz-Anteil}$.

• Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe  (3)  gilt deshalb:

$$t_3 = \frac{3\pi/2}{2\pi (f_{\rm 60}- f_{\rm 50})} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 75 \hspace{0.05cm} {\rm µ s}}}.$$