Exercise 4.3: Pointer Diagram Representation

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Zeigerdiagramm einer Harmonischen

Wir betrachten ein analytisches Signal  $x_+(t)$, welches durch das gezeichnete Diagramm in der komplexen Ebene festgelegt ist. Je nach Wahl der Signalparameter ergeben sich daraus drei physikalische Bandpass–Signale  $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$, die sich durch verschiedene Startpunkte  $S_i = x_i(t = 0)$  unterscheiden (blauer, grüner und roter Punkt). Zudem seien auch die Winkelgeschwindigkeiten der drei Konstellationen unterschiedlich:

• Das analytische Signal  $x_{1+}(t)$  beginnt bei  $S_1 = 3 \ \rm V$. Die Winkelgeschwindigkeit ist  $\omega_1 = \pi \cdot 10^{4} \ 1/\text{s}$.
• Das Signal  $x_{2+}(t)$  beginnt beim grünen Startpunkt  $S_2 = {\rm j} \cdot 3 \ \text{V}$  und dreht gegenüber  $x_{1+}(t)$  mit doppelter Winkelgeschwindigkeit   ⇒   $\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$.
• Das Signal $x_{3+}(t)$ beginnt beim rot markierten Ausgangspunkt  $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\pi /3}$  und dreht mit gleicher Geschwindigkeit wie das Signal  $x_{2+}(t)$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion.
• Das interaktive Applet  Physikalisches Signal & Analytisches Signal  verdeutlicht die hier behandelte Thematik.

Fragebogen

1

Wie groß sind die Amplituden aller betrachteten Signale?

$A\ = \ $  $\text{V}$

2

Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_1(t)$?

$f_1\ = \ $  $\text{kHz}$

$\varphi_1\ = \ $  $\text{Grad}$

3

Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_2(t)$?

$f_2\ = \ $  $\text{kHz}$

$\varphi_2\ = \ $  $\text{Grad}$

4

Welche Werte besitzen Frequenz und Phase des Signals  $x_3(t)$?

$f_3\ = \ $  $\text{kHz}$

$\varphi_3\ = \ $  $\text{Grad}$

5

Nach welcher Zeit  $t_1$  ist das analytische Signal  $x_{3+}(t)$  erstmalig wieder gleich dem Startwert  $x_{3+}(t = 0)$?

$t_1\ = \ $  $\text{ms}$

6

Nach welcher Zeit  $t_2$  ist das physikalische Signal  $x_3(t)$  zum ersten Mal wieder so groß wie zum Zeitpunkt  $t = 0$?

$t_2\ = \ $  $\text{ms}$

Musterlösung

Solution

(1)  Die Amplitude der harmonischen Schwingung ist gleich der Zeigerlänge. Für alle Signale gilt  $A \; \underline{= 3 \ \text{V}}$.

(2)  Die gesuchte Frequenz ergibt sich zu  $f_1 = \omega_1/(2\pi ) \; \underline{= 5 \ \text{kHz}}$.

• Die Phase kann aus  $S_1 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_1}$  ermittelt werden und ist  $\varphi_1 \; \underline{= 0}$.
• Insgesamt ergibt sich

$$x_1(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 5 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t) .$$

(3)  Wegen  $\omega_2 = 2\cdot \omega_1$  beträgt nun die Frequenz  $f_2 = 2 \cdot f_1 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}$.

• Die Phase ergibt sich mit dem Startzeitpunkt  $S_2$  zu  $\text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\varphi_2} = \text{j}$   ⇒   $\varphi_2 \; \underline{= -\pi /2 \; (-90^{\circ})}$.
• Somit lautet die Zeitfunktion:

$$x_2(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t + 90^\circ) = -3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot {\rm 10 \hspace{0.05cm} kHz}\cdot t ).$$

Dieses Signal ist „minus–sinusförmig”, was auch direkt am Zeigerdiagramm abgelesen werden kann:

• Der Realteil von  $x_{2+}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist Null. Da der Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, ergibt sich zunächst ein negativer Realteil.
• Nach einer viertel Umdrehung ist  $x_2(T/4) = - 3 \ \text{V}$.
• Dreht man nochmals in Schritten von  $90^\circ$  entgegen dem Uhrzeigersinn weiter, so ergeben sich die Signalwerte  $0 \ \text{V}$,  $3 \ \text{V}$  und  $0 \ \text{V}$.

(4)  Diese Teilaufgabe kann analog zu den Fragen  (2)  und (3) gelöst werden:  

$$f_3 \; \underline{= 10 \ \text{kHz}}, \ \varphi_3 \; \underline{= 60^\circ}.$$

(5)  Der Zeiger benötigt für eine Umdrehung genau die Periodendauer  $T_3 = 1/f_3 \; \underline{= 0.1 \ \text{ms}} \;(= t_1)$.

(6)  Das analytische Signal startet bei  $S_3 = 3 \ \text{V} \cdot \text{e}^{–\text{j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}60^{\circ}}$.

• Dreht das Signal um  $120^\circ$  weiter, so ergibt sich genau der gleiche Realteil.
• Es gilt dann mit  $t_2 = t_1/3 \; \underline{= 0.033 \ \text{ms}}$  die folgende Beziehung:

$$x_3(t = t_2) = x_3(t = 0) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 60^\circ) = 1.5\hspace{0.05cm}{\rm V} .$$