Exercise 4.5Z: Simple Phase Modulator

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Modell des betrachteten Phasenmodulators

Die Grafik zeigt eine recht einfache Anordnung zur Approximation eines Phasenmodulators. Alle Signale seien hierbei dimensionslose Größen.

Das sinusförmige Nachrichtensignal  $q(t)$  der Frequenz  $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$  wird mit dem Signal  $m(t)$  multipliziert, das sich aus dem cosinusförmigen Trägersignal  $z(t)$  durch Phasenverschiebung um  $\phi = 90^\circ$  ergibt:

$$m(t) = {\cos} ( \omega_{\rm T} \cdot t + 90^\circ).$$

Anschließend wird das Signal  $z(t)$  mit der Frequenz  $f_{\rm T} = 1 \ \text{MHz}$  noch direkt addiert.

Zur Abkürzung werden in dieser Aufgabe auch verwendet:

• die Differenzfrequenz  $f_{\rm \Delta} = f_{\rm T} - f_{\rm N} = 0.99 \ \text{MHz}$,
• die Summenfrequenz  $f_{\rm \Sigma} = f_{\rm T} + f_{\rm N} = 1.01\ \text{MHz}$,
• die beiden Kreisfrequenzen  $\omega_{\rm \Delta} = 2\pi \cdot f_{\rm \Delta}$  und  $\omega_{\rm \Sigma} = 2\pi \cdot f_{\rm \Sigma}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.

• Berücksichtigen Sie die trigonomischen Umformungen

$$\sin(\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \sin(\alpha - \beta) + {1}/{2} \cdot \sin(\alpha + \beta),$$

$$\sin(\alpha) \cdot \sin (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos(\alpha - \beta) - {1}/{2} \cdot \cos(\alpha + \beta).$$

Fragebogen

1

Welche der folgenden Gleichungen beschreiben  $s(t)$  in richtiger Weise?

	$s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) - q(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t)$.
	$s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t)$.
	$s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + 0.5 \sin(\omega_{\rm \Delta} \cdot t) + 0.5 \sin(\omega_{\rm \Sigma} \cdot t)$.
	$s(t) = \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) - 0.5 \cos(\omega_{\rm \Delta} \cdot t) + 0.5 \cos(\omega_{\rm \Sigma} \cdot t)$.

2

Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal  $s_{\rm TP}(t)$. Welche Inphase– und Quadtraturkomponente ergeben sich zum Zeitpunkt  $t = 0$?

$s_{\rm I}(t = 0)\ = \ $

$s_{\rm Q}(t = 0)\ = \ $

3

Welche der folgenden Aussagen treffen für die Ortskurve  $s_{\rm TP}(t)$ zu?

	Die Ortskurve ist ein Kreisbogen.
	Die Ortskurve ist eine horizontale Gerade.
	Die Ortskurve ist eine vertikale Gerade.

4

Berechnen Sie den Betrag  $a(t)$, insbesondere dessen Maximal– und Minimalwert.

$a_{\rm max}\ = \ $

$a_{\rm min}\ = \ $

5

Wie lautet die Phasenfunktion  $\phi(t)$. Wie groß ist deren Maximalwert?

$\phi_{\rm max}\ = \ $  $\text{Grad}$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind der erste und der letzte Vorschlag:

• Durch die Phasenverschiebung um  $\phi = 90^\circ$  wird aus der Cosinus– die Minus–Sinusfunktion.
• Mit  $q(t) = \sin(\omega_{\rm N} t)$  gilt:

$${s(t)} = \cos({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) - \sin({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) \cdot \sin({ \omega_{\rm N}\hspace{0.05cm} t }) = \cos({ \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t }) - 0.5 \cdot \cos(({ \omega_{\rm T}-\omega_{\rm N})\hspace{0.05cm} t }) + 0.5 \cdot \cos(({ \omega_{\rm T}+\omega_{\rm N})\hspace{0.05cm} t }).$$

(2)  Das Spektrum des analytischen Signals lautet:

$$S_{\rm +}(f) = \delta (f - f_{\rm T}) - 0.5 \cdot \delta (f - f_{\rm \Delta})+ 0.5 \cdot \delta (f - f_{\rm \Sigma}) .$$

• Durch Verschiebung um  $f_{\rm T}$  kommt man zum Spektrum des äquivalenten Tiefpass-Signals:

$$S_{\rm TP}(f) = \delta (f ) - 0.5 \cdot \delta (f + f_{\rm N})+ 0.5 \cdot \delta (f - f_{\rm N}) .$$

• Dies führt zu der Zeitfunktion

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 } - 0.5 \cdot {\rm e}^{{-\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t }+ 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t } = 1 + {\rm j} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t ).$$

• Zum Zeitpunkt  $t = 0$ ist $s_{\rm TP}(t) = 1$, also reell. Somit gilt:

• $s_{\rm I}(t = 0) = \text{Re}[s_{\rm TP}(t = 0)]\; \underline{= 1}$,

• $s_{\rm Q}(t = 0) = \text{Ime}[s_{\rm TP}(t = 0)]\; \underline{= 0}$.

Ortskurve eines einfachen Phasenmodulators

(3)  Die Ortskurve ist eine vertikale Gerade   ⇒   Vorschlag 3 mit folgenden Werten:

$$s_{\rm TP}(t = 0) = s_{\rm TP}(t = {\rm 50 \hspace{0.05cm} µ s}) = \text{ ...} = 1,$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} µ s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 125 \hspace{0.05cm} \mu s}) = \text{ ...} = 1 + {\rm j},$$

$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} µ s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 175 \hspace{0.05cm} \mu s}) = \text{ ...} = 1 - {\rm j}.$$

(4)  Der Betrag (die Zeigerlänge) schwankt zwischen  $a_{\rm max} = \sqrt{2}\; \underline{\approx 1.414}$  und  $a_{\rm min} \;\underline{= 1}$. Es gilt:

$$a(t) = \sqrt{1 + \sin^2(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t )}.$$

Bei idealer Phasenmodulation müsste dagegen die Hüllkurve  $a(t)$  konstant sein.

(5)  Der Realteil ist stets  $1$, der Imaginärteil gleich  $\sin(\omega_{\rm N} \cdot t)$. Daraus folgt die Phasenfunktion:

$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}{\left(\sin(\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm} t )\right)}.$$

• Der Maximalwert der Sinusfunktion ist  $1$. Daraus folgt:

$$\phi_{\rm max} = \arctan (1) \; \underline{= \pi /4 } \; \Rightarrow \; \underline{45^\circ}.$$