Exercise 5.3Z: Zero-Padding

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$\rm MQF$–Werte als Funktion von  $T_{\rm A} /T$  und  $N$

We consider the DFT of a rectangular pulse  $x(t)$  of height  $A =1$  and duration  $T$. Thus the spectral function  $X(f)$  a  $\sin(f)/f$–shaped course.

For this special case the influence of the DFT parameter  $N$  is to be analysed, whereby the interpolation point distance in the time domain should always be  $T_{\rm A} = 0.01T$  bzw.  $T_{\rm A} = 0.05T$ .

The resulting values for the mean square error   (MSE, here MQF) of the grid values in the frequency domain are given opposite for different values of   $N$ :

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Thus, for  $T_A/T = 0.01$ ,  $101$  of the DFT coefficients  $d(ν)$  are always different from zero.

• Of these,   $99$  have the value  $1$  and the two marginal coefficients are each equal to  $0.5$.

• If  $N$, is increased, the DFT coefficient field is filled with zeros.

• This is then referred to as „zero padding”.

Hints:

• This task belongs to the chapter  Possible Errors when Using DFT.

• The theory of this chapter is summarised in the learning video  Possible Errors when Using DFT .

Questions

1

Which statements can be derived from the given MQF values  $($valid for  $T_{\rm A}/T = 0.01$  and  $N ≥ 128)$  abgeleitet werden?

	The  $\rm MQF$ value here is almost independent o  $N$.
	The  $\rm MQF$ value is determined by the termination error.
	The  $\rm MQF$ value is determined by the aliasing error.

2

Let  $T_{\rm A}/T = 0.01$. What is the distance  $f_{\rm A}$  of adjacent samples in the frequency domain for  $N = 128$  and  $N = 512$?

$N = 128$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $

$N = 512$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $

3

What does the product  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  indicate in terms of DFT quality?

	The product  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  considers the accuracy and density of the DFT values.
	The product  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  should be as large as possible.

4

  $N = 128$  is now fixed. Which statements apply to the comparison of the DFT results with  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?

	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  you get a finer frequency resolution.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  the  $\rm MQF$ value is smaller.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  the influence of the termination error decreases.
	Mit  $T_{\rm A}/T = 0.05$  the influence of the aliasing error increases.

5

Now  $N = 64$.Which statements are true for the comparison of the DFT results with  $T_{\rm A}/T = 0.01$  und  $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?

	With  $T_{\rm A}/T = 0.05$  you get a finer frequency resolution.
	With  $T_{\rm A}/T = 0.05$  the  $\rm MQF$ value is smaller.
	With  $T_{\rm A}/T = 0.05$  the influence of the termination error decreases.
	With  $T_{\rm A}/T = 0.05$  the influence of the aliasing error increases.

Solution

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Bereits mit  $N = 128$  ist  $T_{\rm P} = 1.28 \cdot T$, also größer als die Breite des Rechtecks.
• Somit spielt hier der Abbruchfehler überhaupt keine Rolle.
• Der  $\rm MQF$–Wert wird allein durch den Aliasingfehler bestimmt.
• Die Zahlenwerte bestätigen eindeutig, dass  $\rm MQF$  (nahezu) unabhängig von  $N$  ist.

(2)  Aus  $T_{\rm A}/T = 0.01$  folgt  $f_{\rm P} \cdot T = 100$.

• Die Stützwerte von  $X(f)$ liegen also im Bereich  $–50 ≤ f \cdot T < +50$.
• Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt  $f_{\rm A} = f_{\rm P}/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse:

• $N = 128$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.780}$,
• $N = 512$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.195}$.

(3)  Richtig ist die erste Aussage:

• Für  $N = 128$  ergibt sich für das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für  $N = 512$  ist das Produkt etwa um den Faktor  $4$  kleiner.
• Das heißt:   Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.
• Das Produkt  $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$  berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Wegen  $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} \cdot N = 1$  ergibt sich bei konstantem  $N$  immer dann ein kleinerer  $f_{\rm A}$–Wert, wenn man $T_{\rm A}$ vergrößert.
• Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler  $\rm (MQF)$  signifikant  $($etwa um den Faktor  $400)$  vergrößert wird.
• Der Effekt geht auf den Aliasingfehler zurück, da durch den Übergang von  $T_{\rm A}/T = 0.01$  auf  $T_{\rm A}/T = 0.05$  die Frequenzperiode um den Faktor  $5$  kleiner wird.
• Der Abbruchfehler spielt dagegen beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange  $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$  größer ist als die Impulsdauer  $T$.

(5)  Alle Aussagen treffen zu:

• Mit den Parameterwerten  $N = 64$  und  $T_{\rm A}/T = 0.01$  tritt ein extrem großer Abbruchfehler auf.
• Alle Zeitkoeffizienten sind hier  $1$, so dass die DFT fälschlicherweise ein Gleichsignal anstelle der Rechteckfunktion interpretiert.