Exercise 4.2: Low-Pass for Signal Reconstruction

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Kontinuierliches und diskretes Spektrum  (Beispiele)

Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale  $q_{\rm kon}(t)$  und  $q_{\rm dis}(t)$, deren Betragsspektren  $|Q_{\rm kon}(f)|$  und  $|Q_{\rm dis}(f)|$  grafisch dargestellt sind.  Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils  $4 \ \rm kHz$.

• Von der Spektralfunktion  $Q_{\rm kon}(f)$  ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:

$$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Das Spektrum  $Q_{\rm dis}(f)$  beinhaltet Spektrallinien bei  $±1 \ \rm kHz$,  $±2 \ \rm kHz$,  $±3 \ \rm kHz$  und  $±4 \ \rm kHz$.  Somit gilt:

$$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i),$$

Amplitudenwerte:   $C_1 = 1.0 \ \rm V$, $C_2 = 1.8 \ \rm V$, $C_3 = 0.8 \ \rm V$, $C_4 = 0.4 \ \rm V.$

Die Phasenwerte  $φ_1$,  $φ_2$  und  $φ_3$  liegen jeweils im Bereich  $±18^\circ$  und es gilt  $φ_4 = 90^\circ$.

Die Signale werden jeweils mit der Frequenz  $f_{\rm A}$  abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  zugeführt.  Dieses Szenario gilt zum Beispiel für

• die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und
• die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl  $M$.

Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal  $v(t)$  bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt 

$$ε(t) = v(t) - q(t).$$

Dieses ist nur dann von Null verschieden, wenn die Parameter der Abtastung  $($Abtastfrequenz $f_{\rm A})$  und/oder der Signalrekonstruktion  $($Grenzfrequenz $f_{\rm G})$  nicht bestmöglich dimensioniert sind.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Pulscodemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Abtastung und Signalrekonstruktion.

Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen für  $f_{\rm A} = 8\ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} = 4\ \rm kHz$  zu?

	Das Signal  $q_{\rm kon}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm kon}(t) = 0$.
	Das Signal  $q_{\rm dis}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm dis}(t) = 0$.

2

Welche Aussagen treffen für  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} = 5\ \rm kHz$  zu?

	Das Signal  $q_{\rm dis}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $4 \ \rm kHz$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $6 \ \rm kHz$.

3

Welche Aussagen treffen für  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} = 3.5\ \rm kHz$  zu?

	Das Signal  $q_{\rm dis}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $4 \ \rm kHz$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $6 \ \rm kHz$.

4

Welche Aussagen treffen für  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} = 6.5\ \rm kHz$ zu?

	Das Signal  $q_{\rm dis}(t)$  lässt sich vollständig rekonstruieren:   $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $4 \ \rm kHz$.
	$ε_{\rm dis}(t)$  ist eine harmonische Schwingung mit  $6 \ \rm kHz$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist nur die erste Aussage:

• Die Abtastung von  $q_{\rm dis}(t)$  mit der Abtastfrequenz  $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$  führt zu einem irreversiblen Fehler, da  $Q_{\rm dis}(f)$  einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei  $f_4 = 4\ \rm kHz$  beinhaltet und der Phasenwert  $φ_4 ≠ 0$  ist.
• Mit dem hier angegebenen Phasenwert  $φ_4 = 90^\circ$  $(4 \ \rm kHz$– Sinuskomponente$)$  gilt  $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t) = -0.4 \ \rm V · \sin(2π · f_4 · t)$.  Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z.
• Dagegen kann das Signal  $q_{\rm kon}(t)$  mit dem kontinuierlichen Spektrum  $Q_{\rm kon}(f)$  auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass  $($mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 4\ \rm kHz)$  vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz  $f_{\rm A} = 8\ \rm kHz$  verwendet wurde.  Für alle Frequenzen ungleich  $f_4$  ist das Abtasttheorem erfüllt.
• Der Anteil der  $f_4$–Komponente am gesamten Spektrum  $Q_{\rm kon}(f)$  ist aber nur verschwindend klein   ⇒   ${\rm Pr}(f_4) → 0$, solange das Spektrum bei  $f_4$  keine Diraclinie aufweist.

(2)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

• Mit  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$  wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt.
• Mit  $f_{\rm G} = f_{\rm A} /2$  sind beide Fehlersignale  $ε_{\rm kon}(t)$ und $ε_{\rm dis}(t)$ identisch Null.
• Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange  $f_{\rm G} > 4 \ \rm kHz$  und  $f_{\rm G} < 6 \ \rm kHz$  gilt.

(3)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 2:

• Mit  $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm kHz$  entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den  $4\ \rm kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:

$$v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Signalrekonstruktion mit zu großer Grenzfrequenz

(4)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 3:

• Durch die Abtastung mit  $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$  ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum.
• Der Tiefpass mit  $f_{\rm G} = 6.5 \ \rm kHz$  entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit  $|f| ≥ 7\ \rm kHz$, nicht aber den  $6\ \rm kHz$–Anteil.

Das Fehlersignal  $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t)$  ist dann eine harmonische Schwingung mit

• der Frequenz  $f_6 = f_{\rm A} - f_4 = 6\ \rm kHz$,
• der Amplitude  $A_4$ des  $f_4$–Anteils,
• der Phase  $φ_{-4} = -φ_4$  des  $Q(f)$–Anteils bei  $f = -f_4$.