System Description in Time Domain

Impulse Response

On the page Das erste Fourierintegral in the book ”Signal Representation” it was explained that for any deterministic signa $x(t)$ a spectral function $X(f)$ can be given with the help of the Fourier transform. Often $X(f)$ is referred to as the spectrum in short.

However, all information about the spectral function is already contained in the time domain representation, even if not always immediately recognisable. The same facts apply to linear time-invariant systems.

$\text{Definition:}$ The most important descriptive quantity of a linear time-invariant system in the time domain is the inverse Fourier transform of $H(f)$, which is called the impulse response :

$$h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}H(f) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$

The following should be noted in this regard:

The frequency response $H(f)$ and the impulse response $h(t)$ are equivalent descriptive quantities that contain exactly the same information about the LTI-system.
If the dirac-shaped input signal $x(t) = δ(t)$ is used, then $X(f) = 1$ is to be set and $Y(f) = H(f)$ or $y(t) = h(t)$ are valid.
The term ”impulse response” reflects this statement: $h(t)$ is the response of the system to a (Dirac delta) function as an input signal.
The above definition suggests that any impulse response must have the unit $\text{Hz = 1/s}$ .

Rectangular Impulse Response and the associated Magnitude Spectrum

$\text{Example 1:}$ The impulse response $h(t)$ of the so-called slit–lowpass is constant over a time interval $T$ and is zero outside this time interval.

The associated amplitude response as the magnitude of the frequency response is

$$\vert H(f)\vert = \vert {\rm si}(\pi fT)\vert .$$

The area over $h(t)$ is equal to $H(f = 0) = 1$. It follows that:
In the range $ 0 < t < T$ the impulse response must be equal to $1/T$ .
The phase response is given by

$$b(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\pi/T \\ - \pi/T \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{20}c} \text{für} \\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left \vert \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm} \right \vert > 0,} \\{\vert \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \vert < 0.} \\\end{array}$$

For $h(t)$ that are symmetric about $t = 0$ (i.e. noncausal) $b(f)=0$ holds.

Some Laws of the Fourier Transformation

The Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation have already been explained in detail in the book ”Signal Representation”.

The following is a short summary, where $H(f)$ describes the frequency response of an LTI-system and whose inverse Fourier transform $h(t)$ is the impulse response. The laws and principles are applied more frequently in the Aufgaben for this chapter ”Systemtheoretische Grundlagen”.

Here, we also refer to the didactic video Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.

In the following equations the short symbol of the Fourier transformation is used. The filled-out circle indicates the spectral domain, the white one the time domain.

Multiplikcation with a constant faktor:

$$k \cdot H(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,k \cdot h(t).$$

For $k \lt 1$ one deals with attenuation, while $k \gt 1$ stands for amplification.

Similarity Theorem:

$$H({f}/{k})\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,|k| \cdot h(k\cdot t).$$

Dieser besagt: Eine Stauchung $(k < 1)$ des Frequenzgangs führt zu einer breiteren und niedrigeren Impulsantwort.
Durch Streckung $(k > 1)$ von $H(f)$ wird $h(t)$ schmaler und höher.

Verschiebungssatz im Frequenzbereich und im Zeitbereich:

$$H(f - f_0) \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t )\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}2\pi f_0 t},\hspace{0.9cm} H(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi ft_0}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, h( t- t_0 ).$$

Eine Verschiebung um $t_0$ (Laufzeit) führt also im Frequenzbereich zu der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion.
Der Amplitudengang $|H(f)|$ wird dadurch nicht verändert.

Differentiationssatz im Frequenzbereich und im Zeitbereich:

$$\frac{1}{{{\rm j}2\pi }} \cdot \frac{{{\rm d}H( f )}}{{{\rm d}f}} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,- t \cdot h( t ),\hspace{0.9cm} {\rm j}\cdot 2\pi f \cdot H( f ){}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{{{\rm d}h( t )}}{{\rm d}t}.$$

Ein differenzierendes Element im LZI–System führt im Frequenzbereich zu einer Multiplikation mit ${\rm j}\cdot 2πf$ und damit unter Anderem zu einer Phasendrehung um $90^{\circ}$.

Kausale Systeme

$\text{Definition:}$ Ein LZI–System bezeichnet man dann als kausal, wenn die Impulsantwort $h(t)$ – also die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs $H(f)$ – folgende Bedingung erfüllt:

$$h(t) = 0 \hspace{0.25cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.25cm} t < 0.$$

$\text{Bitte beachten Sie:}$ Jedes realisierbare System ist kausal.

Akausales System $\rm A$ und kausales System $\rm B$

$\text{Beispiel 2:}$ Die Grafik verdeutlicht den Unterschied zwischen dem akausalen System $\rm A$ und dem kausalen System $\rm B$.

Beim System $\rm A$ beginnt die Wirkung früher $($bei $t =\hspace{0.05cm} –T)$ als die Ursache $($Diracfunktion bei $t = 0)$, was natürlich in der Praxis nicht möglich ist.
Fast alle akausalen Systeme lassen sich unter Verwendung einer Laufzeit $\tau$ in ein realisierbares kausales System überführen.
Zum Beispiel gilt mit $\tau = T$:

$$h_{\rm B}(t) = h_{\rm A}(t - T).$$

Für kausale Systeme gelten alle bisher gemachten Aussagen ebenso wie für akausale Systeme.
Zur Beschreibung kausaler Systeme lassen sich jedoch einige spezifische Eigenschaften nutzen, wie im dritten Hauptkapitel „Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme” dieses Buches ausgeführt wird.

In diesem ersten und dem folgenden zweiten Hauptkapitel betrachten wir vorwiegend akausale Systeme, da deren mathematische Beschreibung meist einfacher ist.

So ist der Frequenzgang $H_{\rm A}(f)$ reell,
während für $H_{\rm B}(f)$ der zusätzliche Term ${\rm e}^{–{\rm j2π}f\hspace{0.05cm}T}$ zu berücksichtigen ist.

Berechnung des Ausgangssignals

Wir betrachten die folgende Aufgabenstellung: Bekannt sei das Eingangssignal $x(t)$ und der Frequenzgang $H(f)$. Gesucht ist das Ausgangssignal $y(t)$.

Zur Ermittlung der Ausgangsgrößen eines LZI–Systems

Soll die Lösung im Frequenzbereich erfolgen, so muss zunächst aus dem gegebenen Eingangssignal $x(t)$ durch Fouriertransformation das Spektrum $X(f)$ ermittelt und mit dem Frequenzgang $H(f)$ multipliziert werden. Durch Fourierrücktransformation des Produkts kommt man dann zum Signal $y(t)$.

Hier nochmals der gesamte Rechengang zusammengefasst:

$${\rm 1.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm} :}\hspace{0.5cm} X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, x( t )\hspace{1.55cm}{\rm Eingangsspektrum},$$

$${\rm 2.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm}Y(f)= X(f) \cdot H(f) \hspace{0.82cm}{\rm Ausgangsspektrum},$$

$${\rm 3.\,\, Schritt\hspace{-0.1cm}:}\hspace{0.5cm} y(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, Y(f )\hspace{1.55cm}{\rm Ausgangssignal}.$$

Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der Berechnung im Zeitbereich, indem man zunächst aus dem Frequenzgang $H(f)$ mittels Fourierrücktransformation die Impulsantwort $h(t)$ berechnet und anschließend die Faltungsoperation anwendet:

$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Die Ergebnisse sind bei beiden Vorgehensweisen identisch.
Zweckmäßigerweise sollte man dasjenige Verfahren auswählen, das mit weniger Rechenaufwand zum Ziel führt.

$\text{Beispiel 3:}$ Am Eingang eines Spalt–Tiefpasses mit rechteckförmiger Impulsantwort der Breite $T$ (siehe $\text{Beispiel 1}$) liegt ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $2T$ an.

Trapezförmiger Ausgangsimpuls, da $x(t)$ und $h(t)$ rechteckförmig sind

In diesem Fall ist die direkte Berechnung im Zeitbereich günstiger:

Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke $x(t)$ und $h(t)$ führt zum trapezförmigen Ausgangsimpuls $y(t)$.

Man erkennt die Tiefpasseigenschaft des Filters an der endlichen Flankensteilheit von $y(t)$.

Die Impulshöhe $3\text{ V}$ bleibt in diesem Beispiel erhalten, wegen

$$H(f = 0) = 1/T · T = 1.$$

Step Response

$\text{Definitionen:}$ Eine in der Praxis oft verwendete Eingangsfunktion $x(t)$ zur Messung von $H(f)$ ist die Sprungfunktion

$${\rm \gamma}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}0 \\ 0.5 \\ \hspace{0.25cm} 1 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{20}c} \text{für} \\ \text{für}\\ \text{für} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\vert \hspace{0.05cm} t\hspace{0.05cm} \vert < 0,} \\ {\vert \hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm} \vert = 0,} \\ {\vert \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert > 0.} \\ \end{array}$$

Die Sprungantwort $\sigma(t)$ ist die Antwort des Systems, wenn man an den Eingang die Sprungfunktion $\gamma(t)$ anlegt:

$$x(t) = {\rm \gamma}(t)\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y(t) = {\rm \sigma}(t).$$

Die Berechnung im Frequenzbereich wäre hier etwas umständlich, denn man müsste dann folgende Gleichung anwenden:

$${\rm \sigma}(t)\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, X(f ) \cdot H(f) =\left({1}/{2}\cdot \delta(f) + \frac{1}{{\rm j}\cdot 2\pi f} \right) \cdot H(f).$$

Die Berechnung im Zeitbereich führt dagegen direkt zum Ergebnis:

$${\rm \sigma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Bei kausalen Systemen gilt $h(\tau) = 0$ für $\tau \lt 0$, so dass die untere Integrationsgrenze in obiger Gleichung zu $\tau = 0$ gesetzt werden kann.

$\text{Beweis:}$ Das genannte Ergebnis ist auch aus folgendem Grunde einsichtig:

Die Sprungfunktion $\gamma(t)$ hängt mit der Diracfunktion $\delta(t)$ wie folgt zusammen:

$${\rm \gamma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {\delta ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Da wir Linearität vorausgesetzt haben und die Integration eine lineare Operation darstellt, gilt auch für das Ausgangssignal der entsprechende Zusammenhang:

$${\rm \sigma}(t) = \int_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

q.e.d.

Berechnung der Sprungantwort bei rechteckförmiger Impulsantwort

$\text{Beispiel 4:}$ Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt für die Rechteck–Impulsantwort $h(\tau)$.

Die Abszisse wurde in $\tau$ umbenannt.
Blau eingezeichnet ist die Sprungfunktion $\gamma(\tau)$.
Durch Spiegelung und Verschiebung erhält man $\gamma(t - \tau)$ ⇒ violett gestrichelte Kurve.
Die rot hinterlegte Fläche gibt somit die Sprungantwort $\sigma(\tau)$ zum Zeitpunkt $\tau = t$ an.

Exercise for the Chapter

Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort

Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort

Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung

Aufgabe 1.4Z: Alles rechteckförmig