Exercise 1.1: Entropy of the Weather

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Five different binary sources

A weather station queries different regions every day and receives a message  $x$  back as a response in each case, namely

• $x = \rm B$:   The weather is rather bad.
• $x = \rm G$:   The weather is rather good.

The data were stored in files over many years for different regions, so that the entropies of the  $\rm B/G$–sequences can be determined:

$$H = p_{\rm B} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm B}} + p_{\rm G} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm G}}$$

with the binary logarithm

$${\rm log}_2\hspace{0.1cm}p=\frac{{\rm lg}\hspace{0.1cm}p}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}2}\hspace{0.3cm} \left ( = {\rm ld}\hspace{0.1cm}p \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Here, „lg”  denotes the logarithm to the base  $10$.  It should also be mentioned that the pseudo-unit  $\text{bit/query}$  must be added in each case.

The graph shows these binary sequences for  $60$  days and the following regions:

• Region „mixed”:    $p_{\rm B} = p_{\rm G} =0.5$,
• Region „rainy”:             $p_{\rm B} = 0.8, \; p_{\rm G} =0.2$,
• Region „pleasant”:            $p_{\rm B} = 0.2, \; p_{\rm G} =0.8$,
• Region „paradise”:                $p_{\rm B} = 1/30, \; p_{\rm G} =29/30$.

Finally, the file „Unknown” is also given, whose statistical properties are to be estimated.

Hinss:

• This task belongs to the chapter  Discrete Memoryless Sources.

• For the first four files it is assumed that the events  $\rm B$  and  $\rm G$  are statistically independent, a rather unrealistic assumption for weather practice.

• he task was designed at a time when  Greta  was just starting school.  We leave it to you to rename „paradise” to „hell”.

Questions

1

What is the entropy  $H_{\rm D}$  of the file  „mixed" ?

$H_{\rm D}\ = \ $ $\ \rm bit/query$

2

What is the entropy  $H_{\rm R}$  of the file  „rainy”&nbsp?

$H_{\rm R}\ = \ $ $\ \rm bit/query$

3

What is the entropy  $H_{\rm A}$  of the file  „pleasant” ?

$H_{\rm A}\ = \ $ $\ \rm bit/query$

4

How large are the information contents of events  $\rm B$  and  $\rm G$  in relation to the file  „paradise”?

$I_{\rm B}\ = \ $ $\ \rm bit/query$

$I_{\rm G}\ = \ $ $\ \rm bit/query$

5

What is the entropy  (that is:  the average information content)  $H_{\rm P}$  of the file  „paradise”?  Interpret the result.

$H_{\rm P}\ = \ $ $\ \rm bit/query$

6

Which statements could be true for the file  „unknown” ?

	Events  $\rm B$  and  $\rm G$  are approximately equally likely.
	The sequence elements are statistically independent of each other.
	The entropy of this file is  $H_\text{U} \approx 0.7 \; \rm bit/query$.
	The entropy of this file is  $H_\text{U} = 1.5 \; \rm bit/query$.

Solution

Solution

(1)  Bei der Datei  „Durchwachsen”  sind die beiden Wahrscheinlichkeiten gleich:   $p_{\rm B} = p_{\rm G} =0.5$.  Damit ergibt sich für die Entropie:

$$H_{\rm D} = 0.5 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.5} + 0.5 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Mit  $p_{\rm B} = 0.8$  und  $p_{\rm G} =0.2$  erhält man einen kleineren Entropiewert:

$$H_{\rm R} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.8 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\frac{5}{4} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}0.2 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\frac{5}{1}\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.8 \cdot{\rm log}_2\hspace{0.05cm}5\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}0.8 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}4 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.05cm} 5 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} {\rm log}_2\hspace{0.05cm}5\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm} 0.8 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}4\hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} \frac{{\rm lg} \hspace{0.1cm}5}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}2} \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1.6 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.722\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  In der Datei  „Angenehm”  sind die Wahrscheinlichkeiten gegenüber der Datei  „Regenloch”  genau vertauscht.  Durch diese Vertauschung wird die Entropie jedoch nicht verändert:

$$H_{\rm A} = H_{\rm R} \hspace{0.15cm} \underline {= 0.722\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Mit  $p_{\rm B} = 1/30$  und  $p_{\rm G} =29/30$  ergeben sich folgende Informationsgehalte:

$$I_{\rm B} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm log}_2\hspace{0.1cm}30 = \frac{{\rm lg}\hspace{0.1cm}30}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}2} = \frac{1.477}{0.301} \hspace{0.15cm} \underline {= 4.907\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm},$$

$$I_{\rm G} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{30}{29} = \frac{{\rm lg}\hspace{0.1cm}1.034}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}2} = \frac{1.477}{0.301} \hspace{0.15cm} \underline {= 0.049\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Die Entropie  $H_{\rm P}$  ist der mittlere Informationsgehalt der beiden Ereignisse  $\rm B$  und  $\rm G$:

$$H_{\rm P} = \frac{1}{30} \cdot 4.907 + \frac{29}{30} \cdot 0.049 = 0.164 + 0.047 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.211\,{\rm bit/Anfrage}}\hspace{0.05cm}.$$

• Obwohl  (genauer:  weil)  das Ereignis  $\rm B$  seltener auftritt als  $\rm G$, ist sein Beitrag zur Entropie größer.

(6)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

• $\rm B$  und  $\rm G$  sind bei der Datei „Unbekannt” tatsächlich gleichwahrscheinlich:   Die  $60$  dargestellten Symbole teilen sich auf in  $30$ mal  $\rm B$  und  $30$ mal  $\rm G$.
• Es bestehen nun aber starke statistische Bindungen innerhalb der zeitlichen Folge.  Nach längeren Schönwetterperioden folgen meist viele schlechte Tage am Stück.
• Aufgrund dieser statistischen Abhängigkeit innerhalb der  $\rm B/G$–Folge ist  $H_\text{U} = 0.722 \; \rm bit/Anfrage$  kleiner als  $H_\text{D} = 1 \; \rm bit/Anfrage$.
• $H_\text{D}$  ist gleichzeitig das Maximum für  $M = 2$   ⇒   die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch.