Exercise 3.7Z: Error Performance

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Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der  CCITT-Empfehlung G.821  unter dem Namen "Error Performance" spezifiziert sind.

Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:

• Diese besagt unter Anderem,  dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens  $99.8\%$  aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als  $10^{-3}$  (ein Promille) aufweisen müssen.
• Bei einer Bitrate von  $\text{64 kbit/s}$  entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde  $($und somit bei  $N = 64\hspace{0.08cm}000$  übertragenen Symbolen$)$  nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten dürfen:

$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gaußverteilte Zufallsgrößen.

• Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p = 10^{-3}$  aus.
• In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.08cm}000$.
• Unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – kann die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
• Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe  (4).

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$  zu?

	Die Zufallsgröße $f$  ist binomialverteilt.
	$f$  kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden.

2

Welcher Mittelwert ergibt sich für die Zufallsgröße $f$?

$m_f \ = \ $

3

Wie groß ist die Streuung?  Verwenden Sie geeignete Näherungen.

$\sigma_f \ = \ $

4

Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten.  Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.

${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ $ \ \rm \%$

5

Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_\text{B, max}$  höchstens sein, damit die Bedingung "64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle " eingehalten werden kann?  Es gilt  ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.

$p_\text{B, max}\ = \ $ $ \ \rm \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Beide Aussagen sind richtig:

• Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$  handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße:  Summe über  $N$  Binärwerte  $(0$ oder $1)$.
• Da das Produkt  $N \cdot p = 64$  und dadurch sehr viel größer als  $1$  ist,
• kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate  ${\it \lambda} = 64$  angenähert werden.

(2)  Der Mittelwert ergibt sich zu  $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$  unabhängig davon, ob man von der Binomial– oder der Poissonverteilung ausgeht.

(3)  Für die Streuung erhält man  

$$\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$$

• Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als  $0.05\%$.

(4)  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$  mit Mittelwert  $m_f {= 64}$  ist die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$.   Anmerkung:

• Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $50\%$.
• Da $f$  nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.

(5)  Mit  $\lambda = N \cdot p$  lautet die entsprechende Bedingung:

$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$

• Der Maximalwert von  $\lambda$  kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:

$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$

• Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:

$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it p}_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$

• Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.