Exercise 5.7: McCullough and Gilbert-Elliott Parameters
In Aufgabe 5.6 und Aufgabe 5.6Z wurden jeweils das GE–Modell mit den Parameterwerten
- pG = 0.001,pB=0.1,Pr(G|B) = 0.1,Pr(B|G)=0.01.
genauer untersucht. Gegenüber diesen Aufgaben werden nun die Übergangswahrscheinlichkeiten umbenannt, beispielsweise wird p(B|G) anstelle von Pr(B|G) geschrieben. In der oberen Grafik ist diese Umbenennung bereits vorgenommen.
Die untere Grafik zeigt das MC–Modell von McCullough. Dieses besitzt die genau gleiche Struktur wie das GE–Modell, doch werden nun alle Wahrscheinlichkeiten mit q anstelle von p bezeichnet.
Beispielsweise bezeichnet beim MC–Modell q(B|G) die Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand G in den Zustand B unter der Voraussetzung, dass im Zustand G gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE–Parameter p(B|G) kennzeichnet dagegen diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne Zusatzbedingung.
Die Parameter des GE–Modells ⇒ pG,pB,p(B|G),p(G|B) können so in die entsprechenden MC–Parameter qG,qB,q(B|G) und q(G|B) umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE–Modell erzeugt wird, allerdings nicht die identische Folge.
Die Umrechnungsgleichungen lauten:
- qG = 1−βG,qB=1−βB,q(B|G) = αB⋅[Pr(B|G)+Pr(G|B)]αG⋅qB+αB⋅qG,q(G|B) = αGαB⋅q(B|G).
Hierbei sind die folgenden Hilfsgrößen verwendet:
- uGG = Pr(G|G)⋅(1−pG),uGB=Pr(B|G)⋅(1−pG),
- uBB = Pr(B|B)⋅(1−pB),uBG=Pr(G|B)⋅(1−pB)
- ⇒βG = uGG+uBB+√(uGG−uBB)2+4⋅uGB⋅uBG2,
- βB = uGG+uBB−√(uGG−uBB)2+4⋅uGB⋅uBG2,
- xG=uBGβG−uBB,xB=uBGβB−uBB
- ⇒αG=(wG⋅pG+wB⋅pB⋅xG)(xB−1)pM⋅(xB−xG),αB=1−αG.
wG und wB sind die Zustandswahrscheinlichkeiten für „GOOD" und „BAD" des GE–Modells. In der Aufgabe 5.6Z wurden diese wie folgt berechnet:
- wG=10/11,wB=1/11.
Die entsprechenden Zustandswahrscheinlichkeiten des MC–Modells sind αG und αB.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Bündelfehlerkanäle.
- In der nachfolgenden Aufgabe 5.7Z werden die wichtigsten Beschreibungsgrößen direkt aus den MC–Parametern berechnet:
- Fehlerkorrelationsfunktion,
- Korrelationsdauer,
- mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit und
- Fehlerabstandsverteilung
Fragebogen
Musterlösung
- uGG = Pr(G|G)⋅(1−pG)=0.99⋅(1−0.001)≈0.98901_,
- uBG = Pr(G|B)⋅(1−pB)=0.1⋅(1−0.1)≈0.09_,
- uGB = Pr(B|G)⋅(1−pG)=0.01⋅(1−0.001)≈0.00999_,
- uBB = Pr(B|B)⋅(1−pB)=0.9⋅(1−0.1)≈0.81_.
- Daraus folgt für die β–Hilfsgrößen:
- βG=uGG+uBB+√(uGG−uBB)2+4⋅uGB⋅uBG2=0.98901+0.81+√(0.98901−0.81)2+4⋅0.00999⋅0.092
- ⇒βG=1.79901+√0.03204+0.0035962=1.79901+0.188772=0.9939_,
- βB = uGG+uBB−√(uGG−uBB)2+4⋅uGB⋅uBG2,= ...=1.79901−0.188772=0.8051_.
(2) Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:
- qG=1−βG=1−0.9939=0.0061_,qB=1−βB=1−0.8051=0.1949_.
(3) Entsprechend dem Angabenblatt ist hier anzusetzen
- xG = uBGβG−uBB=0.09990.9939−0.81=0.5432_,
- xB = uBGβB−uBB=0.09990.8051−0.81=−20.388_,
- αG = (wG⋅pG+wB⋅pB⋅xG)(xB−1)pM⋅(xB−xG)=(0.9091⋅0.001+0.0909⋅0.1⋅0.5432)(−20.388−1)0.01⋅(−20.388−0.5432)=0.5975_,
- αB = 1−αG=0.4025_.
(4) Entsprechend den vorgegebenen Gleichungen gilt:
- q(B|G) = αB⋅[Pr(B|G)+Pr(G|B)]αG⋅qB+αB⋅qG=0.4025⋅[0.1+0.01]0.5975⋅0.1949+0.4025⋅0.0061=0.3724_,
- q(G|B) = αGαB⋅q(B|G)=0.59750.4025⋅0.3724=0.5528_.
