Exercise 4.09: Cyclo-Ergodicity

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Zur Verdeutlichung der Eigenschaft "Zykloergodizität"

Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz  $f_0 = 1/T_0$  sind.  $T_0$  bezeichnet die Periodendauer.

• Beim oben dargestellten Zufallsprozess  $\{x_i(t)\}$  ist die stochastische Komponente die Amplitude, wobei der Zufallsparameter  $C_i$  alle Werte zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:

$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t)\}.$$

• Beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf:   $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Hier variiert die Phase  $\varphi_i$, die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen  $0$  und  $2\pi$  ist:

$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}.$$

Die Eigenschaften  "zyklostationär"  und  "zykloergodisch"  sagen aus,

• dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als stationär und ergodisch zu bezeichnen sind,
• alle statistischen Kennwerte aber für Vielfache der Periondauer  $T_0$  jeweils gleich sind.

In diesen Fällen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar, die eigentlich nur für ergodische Prozesse gelten.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Autokorrelationsfunktion.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist stationär.
	Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist ergodisch.
	Der Prozess  $\{y_i(t)\}$  ist stationär.
	Der Prozess  $\{y_i(t)\}$  ist ergodisch.

2

Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion  $\varphi_y(\tau)$  für verschiedene  $\tau$-Werte.

$\varphi_y(\tau=0)\ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_y(\tau=0.25 \cdot T_0)\ = \ $ $\ \rm V^2$

$\varphi_y(\tau=1.50 \cdot T_0)\ = \ $ $\ \rm V^2$

3

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $\{y_i(t)\}$  zutreffend?

	Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
	Alle Mustersignale besitzen den Effektivwert  $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
	Die AKF hat die doppelte Periodendauer  $(2T_0)$  wie die Mustersignale  $(T_0)$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 3 und 4:

• Zum Zeitpunkt  $t = 0$  $($und allen Vielfachen der Periodendauer  $T_0)$  hat jedes Mustersignal  $x_i(t)$  einen Wert zwischen  $1\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $2\hspace{0.05cm}\rm V$.  Der Mittelwert ist  $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
• Dagegen ist bei  $t = T_0/4$  der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.  Das heißt:
• Bereits der lineare Mittelwert erfüllt die Bedingung der Stationarität nicht:  Der Prozess  $\{x_i(t)\}$  ist nicht stationär und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
• Dagegen sind beim Prozess  $\{y_i(t)\}$  aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten   ⇒   der Prozess ist stationär.
• Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend für den gesamten Prozess.  Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizität ausgegangen werden.
• Am Ende der Aufgabe ist zu überprüfen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.

(2)  Aufgrund der Ergodizität kann jede Musterfunktion zur AKF–Berechung herangezogen werden.  Wir benutzen hier willkürlich die Phase  $\varphi_i = 0$.

• Aufgrund der Periodizität genügt die Mitteilung über nur eine Periodendauer  $T_0$.  Dann gilt:

$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)}) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$

• Mit der trigonometrischen Beziehung   $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$   folgt daraus weiter:

$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )} \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )} \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$

• Das erste Integral ist Null  (Integration über zwei Perioden der Cosinusfunktion).
• Der zweite Integrand ist unabhängig von der Integrationsvariablen  $t$.  Daraus folgt:   $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}).$
• Für die angegebenen Zeitpunkte gilt mit  $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:

$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$

(3)  Richtig sind beiden ersten Lösungsvorschläge:

• Der Mittelwert  $m_y$  kann aus dem Grenzwert der AKF für  $\tau \to \infty$  ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschließt.  Daraus folgt  $m_y= 0$.
• Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF–Wert an der Stelle  $\tau = 0$, also  $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.  Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus:   $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
• Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das heißt, auch die Periodendauer der AKF beträgt  $T_0$.