Exercise 4.7: Several Parallel Gaussian Channels

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Signalraumpunkte bei digitaler Modulation

Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals mit dem Kennzeichen $Y = X + N$  wurde im  Theorieteil  wie folgt angegeben
(mit der Zusatz–Einheit "bit”):

$$C_{\rm AWGN}(P_X,\ P_N) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:

• $P_X$  ist die Sendeleistung   ⇒   Varianz der Zufallsgröße  $X$,
• $P_N$  ist die Störleistung   ⇒   Varianz der Zufallsgröße  $N$.

Werden  $K$  identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:

$$C_K(P_X,\ P_N) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K, \ P_N) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass

• in jedem Kanal die gleiche Störleistung  $P_N$  vorliegt,
• somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung  $(P_X/K)$  erhält,
• die Gesamtleistung genau wie im Fall  $K = 1$  gleich  $P_X$ ist.

In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:

• Amplitude Shift Keying  (ASK),
• Binary Phase Shift Keying  (BPSK),
• Quadratur-Amplitudenmodulation  (hier:   4-QAM),
• Phase Shift Keying  (hier:   8–PSK für GSM Evolution),
• Kombinierte ASK/PSK-Modulation  (hier:   16-ASK/PSK).

Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher  $K$–Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Parallele Gaußkanäle.
• Da die Ergebnisse in "bit” angegeben werden sollen, wird "log₂” verwendet.

Fragebogen

1

Welche Parameter  $K$  gelten für die folgenden Modulationsverfahren?

$K \ = \ $ $\text{ (bei ASK)}$

$K \ = \ $ $\text{ (bei BPSK)}$

$K \ = \ $ $\text{ (bei 4-QAM)}$

$K \ = \ $ $\text{ (bei 8-PSK)}$

$K \ = \ $ $\text{ (16-ASK/PSK)}$

2

Welche Kanalkapazität  $C_K$  ergibt sich für  $K$  gleich gute Kanäle  (jeweils mit der Störleistung  $P_N$  und der Sendeleistung  $P_X(K)$?

	Es gilt   $C_K = K/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.
	Es gilt   $C_K = K/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/(K \cdot P_N) \big]$.
	Es gilt   $C_K = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + P_X/P_N \big]$.

3

Welche Kapazitäten ergeben sich für  $P_X/P_N = 15$?

$K = 1\text{:} \ \ C_K \ = \ $ $\ \rm bit$

$K = 2\text{:} \ \ C_K \ = \ $ $\ \rm bit$

$K = 4\text{:} \ \ C_K \ = \ $ $\ \rm bit$

4

Gibt es bezüglich der Kanalzahl  $K$  ein (theoretisches) Optimum?

	Ja:   Die größte Kanalkapazität ergibt sich für  $K = 2$.
	Ja:   Die größte Kanalkapazität ergibt sich für  $K = 4$.
	Nein:   Je größer  $K$, desto größer ist die Kanalkapazität.
	Der Grenzwert für  $K \to \infty$  (in bit)  ist  $C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$  in "bit”.

Musterlösung

Solution

(1)  Der Parameter  $K$  ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:

• Für ASK und BPSK ist  $\underline{K=1}$.
• Für die Konstellationen 3 bis 5 gilt dagegen  $\underline{K=2}$  (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Für jeden der Kanäle  $(1 ≤ k ≤ K)$  beträgt die Kanalkapazität  $C = 1/2 \cdot \log_2 \ \big[1 + (P_X/K) /P_N) \big]$.  Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor  $K$  größer:

$$C_K(P_X) = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$

• Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf  $K · P_X$  gelten.
• Der Vorschlag 3 würde bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.

(3)  Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für  $K = 1$,  $K = 2$  und  $K = 4$  sowie verschiedene Signal–zu–Störleistungsverhältnisse  $\xi = P_X/P_N$. Für  $\xi = P_X/P_N = 15$  (markierte Spalte) ergibt sich:

Kanalkapazität  $C_K$  von  $K$  parallelen Gaußkanälen für verschiedene  $\xi = P_X/P_N$

• $K=1$:   $C_K = 1/2 · \log_2 \ (16)\hspace{0.05cm}\underline{ = 2.000}$ bit,
• $K=2$:   $C_K = 1/2 · \log_2 \ (8.5)\hspace{0.05cm}\underline{ = 3.087}$ bit,
• $K=4$:   $C_K = 1/2 · \log_2 \ (4.75)\hspace{0.05cm}\underline{ = 4.496}$ bit.

(4)  Richtig sind die Vorschläge 3 und 4, wie die folgenden Rechnungen zeigen:

• Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss.
• Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit dem natürlichen Logarithmus und der Abkürzung  $\xi = P_X/P_N$:

$$C_{\rm nat}(\xi, K) ={K}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$

• Für große  $K$–Werte, also für kleine Werte des Quotienten  $\varepsilon =\xi/K$  gilt dann:

$${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )= \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ... \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot \left [ \frac{\xi}{K} - \frac{\xi^2}{2K^2} + \frac{\xi^3}{3K^3} - \text{...} \right ]$$

$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm bit}(\xi, K) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ 1 - \frac{\xi}{2K} + \frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} + \frac{\xi^4}{5K^4} - \text{...} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

• Für  $K → ∞$  ergibt sich der vorgeschlagene Wert:

$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} = \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$

• Für kleinere Werte von  $K$  ergibt sich stets ein kleinerer  $C$–Wert, da

$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm usw.}$$

Die letzte Tabellenzeile zeigt:   Mit  $K = 4$  ist man für große  $\xi$–Werte noch weit vom theoretischen Maximum  $($für $K → ∞)$  entfernt.