Exercise 4.8Z: What does the AWGN Channel Capacity Curve say?

AWGN–Kanalkapazität als Funktion von $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$

Wir betrachten wie in Aufgabe 4.8 die Kanalkapazität des AWGN–Kanals:

$$C_{\rm Gauß}( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) . $$

Die Kurve ist rechts bei logarithmischer Abszisse zwischen $-2 \ \rm dB$ und $+6 \ \rm dB$ dargestellt.
Der Zusatz „Gauß" weist darauf hin, dass für diese Kurve am AWGN–Eingang eine Gaußverteilung vorausgesetzt wurde.

Eingezeichnet sind in obiger Grafik durch Punkte drei Systemvarianten:

System $X$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$ und $R = 1$,
System $Y$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ und $R = 2$,
System $Z$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 6 \ \rm dB$ und $R = 1.5$.

In den Fragen zu dieser Aufgabe verwenden wir noch folgende Begriffe:

Digitalsystem: Symbolumfang $M_X = |X|$ beliebig,
Binärsystem: Symbolumfang $M_X = 2$,
Quaternärsystem: Symbolumfang $M_X = 4$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$.
Da die Ergebnisse in „bit" angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log" ⇒ „log₂" verwendet.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Da der Punkt $X$ rechts von der Kanalkapazitätskurve $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$ liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate $R = 1$, das mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$ eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht.
Trotz der Coderate $R = 1$ beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist.
Ein Binärsystem der Rate $R = 1$ erlaubt allerdings keine Kanalcodierung.

(2) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2. Hier gelten folgende Aussagen:

Das erforderliche $E_{\rm B}/{N_0}$ für die Rate $R = 2$ ergibt sich zu

$$(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{2^4 - 1} { 4 } = 3.75 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = 15.74\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}. $$

Die maximale Coderate $R_{\rm max}$ für $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm B}/{N_0} = 1$ berechnet sich wie folgt:

$$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$

Beide Berechnungen zeigen, dass der Punkt $Y$ mit den Kenngrößen $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ und $R = 1$ das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt.

(3) Mit einem Binärsystem ist die Rate $R = 1.5$ niemals realisierbar ⇒ Lösungsvorschlag 1.

(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Der Punkt $Z$ liegt rechts von der Grenzkurve und für die Coderate eines Quaternärsystems gilt $R \le 2$.
Die Rate $R =1.5$ wäre also mit $M_X = 4$ durchaus zu realisieren.
Der Lösungsvorschlag 1 ist falsch. Richtig ist dagegen der zweite Lösungsvorschlag:

Die vorgegebene Kurve $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$ geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus.
Für ein Binärsystem ergibt sich eine andere Grenzkurve, nämlich $C_\text{BPSK} ≤ 1 \ \rm bit/Kanalzugriff$. $C_\text{Gauß}$ und $C_\text{BPSK}$ unterscheiden sich signifikant.
Für das Quaternärsystem $(M_X = 4)$ müsste man die Kurve $C_{M=4}$ berechnen und analysieren. Auch hier gilt $C_{M=4} ≤ C_\text{Gauß}$ .
Für kleines $E_{\rm B}/{N_0}$ gilt $C_{M=4} \approx C_\text{Gauß}$, danach weicht der Kurvenverlauf deutlich ab und endet in einer Horizontalen bei $C_{M=4} = 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$.

Der Punkt $Z$ ⇒ $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 6 \ \rm dB, \ \ R = 1.5$ liegt unterhalb von $C_{M=4}$.

Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in der Aufgabe 4.10 noch gezeigt wird.
Aber allein aus Kenntnis von $C_\text{Gauß}$ kann die Frage nicht beantwortet werden (Lösungsvorschlag 2).

	Für $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$ ist ein Digitalsystem mit der Rate $R = 1$ und der Fehlerwahrscheinlichkeit Null vorstellbar.
	Ein solches System kommt ohne Kanalcodierung aus.
	Ein solches System verwendet einen unendlich langen Code.
	Auch ein Binärsystem kann die Voraussetzungen erfüllen.

	Für $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ ist ein Digitalsystem mit der Rate $R = 2$ und der Fehlerwahrscheinlichkeit Null vorstellbar.
	Für $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ wäre $R = 0.5$ ausreichend.
	Für die Rate $R = 2$ würde $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5 \ \rm dB$ genügen.

	Ein Binärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
	Die Kurve $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$ reicht für diese Bewertung nicht aus.

	Ein Quaternärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
	Die Kurve $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$ reicht für diese Bewertung nicht aus.