Exercise 4.3: Algebraic and Modulo Sum

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Algebraische Summe und Modulo-2-Summe

Ein "getakteter" Zufallsgenerator liefert eine Folge  $\langle x_\nu \rangle$  von binären Zufallszahlen.

• Es wird vorausgesetzt, dass die Binärzahlen  $0$  und  $1$  mit gleichen Wahrscheinlichkeiten auftreten und dass die einzelnen Zufallszahlen nicht voneinander abhängen.
• Die Zufallszahlen  $ x_\nu \in \{0, 1\}$  werden in die erste Speicherstelle eines Schieberegisters eingetragen und mit jeden Takt um eine Stelle nach unten verschoben.

Aus den Inhalten des dreistelligen Schieberegisters werden zwei neue Zufallsfolgen  $\langle a_\nu \rangle$  und  $\langle m_\nu \rangle$  gebildet. Hierbei bezeichnet:

• $a_\nu$  die algebraische Summe:

$$a_\nu=x_\nu+x_{\nu-1}+x_{\nu-2},$$

• $m_\nu$  die Modulo-2-Summe:

$$m_\nu=x_\nu\oplus x_{\nu-1}\oplus x_{\nu-2}.$$

Dieser Sachverhalt ist in der nachfolgenden Tabelle nochmals dargestellt:

Tabelle zur Momentenberechnung

Hinweis:   Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zweidimensionale Zufallsgrößen.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße  $m_\nu$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Modulo-2-Summe gleich  $0$  ist?

${\rm Pr}(m_\nu = 0) \ = \ $

2

Bestehen statistische Abhängigkeiten innerhalb der Folge  $\langle m_\nu \rangle$?

	Die Folgenelemente  $m_\nu$  sind statistisch unabhängig.
	Es bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge  $\langle m_\nu \rangle$.

3

Ermitteln Sie die Verbund-WDF  $f_{xm}(x_\nu, m_\nu)$.  Bewerten Sie aufgrund des Resultats die folgenden Aussagen (zutreffend oder nicht).

	Die Zufallsgrößen  $x_\nu$  und  $m_\nu$  sind statistisch abhängig.
	Die Zufallsgrößen  $x_\nu$  und  $m_\nu$  sind statistisch unabhängig.
	Die Zufallsgrößen  $x_\nu$  und  $m_\nu$  sind korreliert.
	Die Zufallsgrößen  $x_\nu$  und  $m_\nu$  sind unkorreliert.

4

Bestehen innerhalb der Folge  $\langle a_\nu \rangle$  statistische Abhängigkeiten?

	Die Folgenelemente  $a_\nu$  sind statistisch unabhängig.
	Es bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge  $\langle a_\nu \rangle$.

5

Ermitteln Sie die 2D-WDF $f_{am}(a_\nu, m_\nu)$  und den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{am}$.  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	Die Zufallsgrößen  $a_\nu$  und  $m_\nu$  sind statistisch abhängig.
	Die Zufallsgrößen  $a_\nu$  und  $m_\nu$  sind statistisch unabhängig.
	Die Zufallsgrößen  $a_\nu$  und  $m_\nu$  sind korreliert.
	Die Zufallsgrößen  $a_\nu$  und  $m_\nu$  sind unkorreliert.

Musterlösung

Solution

(1)  Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass bei der Modulo-2-Summe die beiden Werte  $0$  und  $1$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten:

$${\rm Pr}(m_\nu = 0) = {\rm Pr}(m_\nu = 1)\hspace{0.15cm}\underline{=0.5}.$$

(2)  Die Tabelle zeigt, dass bei jeder Vorbelegung   ⇒   $( x_{\nu-1}, x_{\nu-2}) = (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$   die Werte  $m_\nu = 0$  bzw.  $m_\nu = 1$  gleichwahrscheinlich sind.

• Anders ausgedrückt:   ${\rm Pr}(m_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_{\nu-1}) = {\rm Pr}( m_{\nu}).$
• Dies entspricht genau der Definition der "statistischen Unabhängigkeit"   ⇒   Antwort 1.

2D-WDF von  $x$  und  $m$

(3)  Richtig sind der zweite und der letzte Lösungsvorschlag.

• Die 2D–WDF besteht aus vier Diracfunktionen, jeweils mit dem Gewicht  $1/4$.
• Man erhält dieses Ergebnis beispielsweise durch Auswertung der Tabelle auf der Angabenseite.
• Da $f_{xm}(x_\nu, m_\nu)$  gleich dem Produkt $f_{x}(x_\nu) \cdot f_{m}(m_\nu)$  ist, sind die Größen  $x_\nu$  und  $m_\nu$  statistisch unabhängig.
• Statistisch unabhängige Zufallsgrößen sind aber auch linear statistisch unabhängig, also mit Sicherheit unkorreliert.

(4)  Innerhalb der Folge  $\langle a_\nu \rangle$  der algebraischen Summe gibt es statistische Bindungen   ⇒   Antwort 2.

• Man erkennt dies daran, dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit  $ {\rm Pr}( a_{\nu} = 0) =1/8$  ist,
• während zum Beispiel  ${\rm Pr}(a_{\nu} = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}a_{\nu-1} = 3) =0$  gilt.

2D-WDF von  $a$  und  $m$

(5)  Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag:

• Wie bei der Teilaufgabe  (3)  gibt es wieder vier Diracfunktionen, diesmal aber nicht mit gleichen Impulsgewichten  $1/4$.
• Die zweidimensionale WDF lässt sich somit nicht als Produkt der zwei Randwahrscheinlichkeitsdichten schreiben.
• Das bedeutet aber, dass statistische Bindungen zwischen  $a_\nu$  und  $m_\nu$  bestehen müssen.
• Für den gemeinsamen Erwartungswert erhält man:

$${\rm E}\big[a\cdot m \big] = \rm \frac{1}{8}\cdot 0 \cdot 0 +\frac{3}{8}\cdot 2 \cdot 0 +\frac{3}{8}\cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{8}\cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{4}.$$

• Mit den linearen Mittelwerten  ${\rm E}\big[a \big] = 1.5$  und  ${\rm E}[m] = 0.5$  folgt damit für die Kovarianz:

$$\mu_{am}= {\rm E}\big[ a\cdot m \big] - {\rm E}\big[ a \big]\cdot {\rm E} \big[ m \big] = \rm 0.75-1.5\cdot 0.5 = \rm 0.$$

• Damit ist auch der Korrelationskoeffizient  $\rho_{am}= 0$.  Das heißt:   Die vorhandenen Abhängigkeiten sind nichtlinear.
• Die Größen  $a_\nu$  und  $m_\nu$  sind zwar statistisch abhängig, trotzdem aber unkorreliert.