Exercise 4.Ten: QPSK Channel Capacity

Kapazitätskurven für BPSK und QPSK

Gegeben sind die AWGN–Kanalkapazitätsgrenzkurven für die Modulationsverfahren

Binary Phase Shift Keying (BPSK),
Quaternary Phase Shift Keying (4–PSK oder auch QPSK).

Die Kanalkapazitäten $C_\text{BPSK}$ und $C_\text{QPSK}$ geben gleichzeitig die maximale Coderate $R_{\rm max}$ an, mit der bei BPSK (bzw. QPSK) die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B} ≡ 0$ mit geeigneter Kanalcodierung asymptotisch erreichbar ist.

Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von der Kenngröße $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$ in $\rm dB$, wobei $E_{\rm B}$ die "Energie pro Informationsbit" angibt.

Für große $E_{\rm B}/{N_0}$–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate $R ≈ 1$.
Aus der QPSK–Kurve kann dagegen $R ≈ 2$ abgelesen werden.

Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang (jeweils mit der Einheit "bit/Symbol"),

grüne Kurve ⇒ $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$ und
blaue Kurve ⇒ $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$

sollen in der Teilaufgabe (3) in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind:

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$

$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate $R_{\rm max}$ an, mit der durch lange Kanalcodes entsprechend dem Kanalcodierungstheorem eine fehlerfreie Übertragung möglich ist. Natürlich gelten für $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$ bzw. $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ unterschiedliche Randbedingungen. Welche, das sollen Sie herausfinden.

Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$ mit der "Energie pro Symbol" $(E_{\rm S})$. Zu erkennen ist, dass die beiden Grenzwerte gegenüber der oberen Darstellung nicht verändert werden:

$$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 1 \ \rm bit/Symbol,$$

$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 2 \ \rm bit/Symbol.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Maximale Coderate für QAM-Strukturen.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

QPSK– und 4–QAM–Signalraumkonstellation

(1) Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für

Quaternary Phase Shift Keying (QPSK), und
vierstufige Quadraturamplitudenmodulation (4–QAM).

Letztere wird auch als π/4–QPSK bezeichnet. Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch ⇒ Antwort NEIN.

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit $(E_{\rm B})$ in beiden Fällen gleich ist.
Da entsprechend der Teilaufgabe (1) die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:

$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$

(3) In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ und $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ skizziert:

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$

$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Vier Kapazitätskurven mit unterschiedlichen Aussagen

Man erkennt aus dieser Skizze: Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.

Die grün–gestrichelte Kurve $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$ gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang.
Für die Coderate $R =1$ sind nach dieser Kurve $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ erforderlich.
Für $R =2$ benötigt man dagegen $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$.
Die blau–gestrichelte Kurve $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ gibt die Shannon–Grenze für $K=2$ parallele Gaußkanäle an. Hier benötigt man $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm dB$ für $R =1$ bzw. $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ für $R =2$.
Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von $C_1$ und damit natürlich auch unterhalb von $C_2 > C_1$.
Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve $C_2$. Sie liegt aber im unteren Bereich $($bis nahezu $\text{6 dB)}$ oberhalb von $C_1$.

(4) Die $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve kann ebenfalls aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ konstruiert werden und zwar

zum einen durch Verdopplung:

$$C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$

sowie durch eine Verschiebung um $3\ \rm dB$ nach rechts:

$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$

Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge. Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur $E_{\rm S}/2$ beträgt.

	Durch Verdopplung: $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
	$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ kann man aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ nicht konstruieren.

	Es gilt $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.

	Durch Verdopplung: $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
	$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ kann man aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ nicht konstruieren.

	Ja.
	Nein.