Exercise 4.1Z: Transmission Behavior of Short Cables

Kurzer Leitungsabschnitt

Wir gehen von einer homogenen und reflektionsfrei abgeschlossenen Leitung der Länge $l$ aus, so dass für die Spektralfunktion am Ausgang gilt:

$$U_2(f) = U_1(f) \cdot {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei beschreibt $\gamma(f)$ das Übertragungsmaß einer extrem kurzen Leitung der infinitesimalen Länge $dx$, das man mit den Belägen $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.08cm}'$ und $C\hspace{0.08cm}'$ (siehe Grafik) wie folgt darstellen kann:

$$\gamma(f) = \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot L\hspace{0.05cm}') \cdot (G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot C\hspace{0.08cm}')} = \alpha (f) + {\rm j} \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$

Der Realteil von $\gamma(f)$ ergibt

das Dämpfungsmaß $\alpha(f)$ , und
der Imaginärteil das Phasenmaß $\beta(f)$.

Nach einiger Rechnung kann man für diese Größen schreiben:

$$\alpha(f) = \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (R\hspace{0.05cm}' \cdot G\hspace{0.08cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.08cm}'\right)+ {1}/{2}\cdot \sqrt{(R\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2) \cdot (G\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2)}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f},$$

$$\beta(f) = \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (-R\hspace{0.05cm}' \cdot G\hspace{0.08cm}' + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}' C\hspace{0.08cm}'\right)+ {1}/{2}\cdot \sqrt{(R\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2) \cdot (G\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2)}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$

Bei der Dämpfungsfunktion $a(f)$ ist zusätzlich die Pseudoeinheit "Neper" (Np) hinzuzufügen und bei der Phasenfunktion $b(f)$ "Radian" (rad). Da die Leitungsbeläge jeweils auf die Leitungslänge bezogen sind, weisen $\alpha(f)$ bzw. $\beta(f)$ die Einheiten "Np/km" bzw. "rad/km" auf.

Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße neben $\gamma(f)$ ist der Wellenwiderstand $Z_{\rm W}(f)$, der an jedem Ort den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom der beiden laufenden Wellen angibt. Es gilt:

$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.08cm}'}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Ergebnisse der Leitungstheorie.

Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen jeweils die Zahlenwerte

$$R\hspace{0.05cm}' = 100\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.08cm}' = 1\,\,{\rm µ S}/{ {\rm km}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} 2\pi L\hspace{0.03cm}' = 2\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} 2\pi C\hspace{0.08cm}' = 200\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$\alpha(f =0) \ =$

$\ \rm Np/km$

$\beta(f = 0) \ =$

$\ \rm rad/km$

$Z_{\rm W}(f = 0) \ =$

$\ \rm \Omega$

$\alpha(f = 100\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Np/km$

$ Z_{\rm W}(f → \infty) \ = \ $

$\ \rm \Omega$

$\alpha(f → \infty) \ = \ $

$\ \rm Np/km$

$\alpha(f = 1\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Np/km$

$\alpha(f = 4\ \rm kHz) \ = \ $

$\ \rm Np/km$

${\rm Re}\{Z_{\rm W}(f = 1\ \rm kHz)\} \ = \ $

$\ \rm \Omega$

${\rm Im}\{Z_{\rm W}(f = 1\ \rm kHz)\} \ = \ $

$\ \rm \Omega$

Musterlösung

Solution

(1) Setzt man in die gegebenen Gleichungen die Frequenz $f = 0$ ein, so erhält man

$$\alpha(f = 0) = [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \sqrt{{1}/{2}\hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} G\hspace{0.03cm}'+ {1}/{2}\cdot R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} G\hspace{0.03cm}'} = [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \sqrt{ R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} G\hspace{0.03cm}'} = [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \sqrt{ 100\,{\rm \Omega/km} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 10^{-6}\,{\rm (\Omega \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} km})^{-1}} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.01\,{\rm Np}/{ {\rm km}} }\hspace{0.05cm},$$

$$\beta(f = 0) = [1\,{\rm rad}] \cdot \sqrt{-{1}/{2}\cdot R\hspace{0.03cm}' \cdot G\hspace{0.03cm}'+ {1}/{2}\cdot R\hspace{0.03cm}' \cdot G\hspace{0.03cm}'} \hspace{0.15cm}\underline{= 0 }\hspace{0.05cm},$$

$$Z_{\rm W}(f = 0) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}'}{G\hspace{0.03cm}'}} = \sqrt{\frac {100\,{\rm \Omega/km}}{{\rm 10^{-6}/(\Omega \cdot km})}}\hspace{0.15cm}\underline{= 10\, {\rm k \Omega}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Gleichsignaldämpfung wird relevant,

wenn das Nutzsignal im Basisband übertragen werden soll und einen Gleichanteil besitzt, oder
wenn der Netzabschluss beim Teilnehmer von der Ortsvermittlungsstelle aus mit Leistung versorgt werden muss (Fernspeisung).

(2) Mit $f = 10^{5} \ \rm Hz$ und den angegebenen Werten gilt

$$f \cdot 2\pi L' = 10^5\,\frac{1}{ {\rm s}} \cdot 2 \cdot 10^{-3}\,\frac{\rm \Omega \cdot s}{ {\rm km}}= 200 \,\frac{\rm \Omega }{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{1.05cm} f \cdot 2\pi C' = 10^5\,\frac{1}{ {\rm s}} \cdot 2 \cdot 10^{-7}\,\frac{\rm s}{ {\rm \Omega \cdot km}}= 0.02 \,\frac{\rm 1 }{ {\rm \Omega \cdot km}} \hspace{0.05cm}.$$

Damit ergibt sich für das Dämpfungsmaß in "Np/km":

$$\alpha(f = 100\,{\rm kHz}) = \sqrt{ {1}/{2}\cdot \left (100 \cdot 10^{-6} - 200 \cdot 0.02 \right)+ {1}/{2} \cdot \sqrt{(100^2 + 200^2) \cdot (10^{-12} + 0.02^2)}} $$

$$ \Rightarrow \; \; \alpha(f = 100\,{\rm kHz}) \approx \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (10^{-4} - 4 \right)+ {1}/{2}\cdot \sqrt{5 \cdot 10^{4} \cdot 4 \cdot 10^{-4}}} \approx \sqrt {-2 + \frac{\sqrt{20}}{ 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.486 \ {\rm Np/km}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Der Grenzübergang für $f → \infty$ ergibt sich, wenn man im Zähler $R\hspace{0.03cm}'$ und im Nenner $G\hspace{0.08cm}'$ gegenüber den jeweils zweiten Term vernachlässigt:

$$\lim_{f \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm} Z_{\rm W}(f) = \lim_{\omega \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm} \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' + {\rm j} \cdot \omega L'}{G' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.03cm}'}} =\sqrt{\frac {2 \pi L\hspace{0.03cm}' }{2 \pi C\hspace{0.03cm}'}}=\sqrt{\frac {2 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \cdot s} } {2 \cdot 10^{-73}\,{\rm s/\Omega} }} \hspace{0.15cm}\underline{= 100\,{\rm \Omega }}\hspace{0.05cm}.$$

Die Näherung für die Dämpfungsfunktion ist schwieriger herzuleiten. Ausgehend von

$$\alpha(\omega) = \sqrt{ {1}/{2}\cdot \left (R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}'\right)+ {1}/{2}\sqrt{(R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2) \cdot (G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}'^2)}}$$

gilt dann ebenfalls:

$$2 \cdot \alpha^2(\omega) = R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' + \omega^2 \cdot L' C'\cdot \left [-1 +\sqrt{(1 + \frac{R\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'^2}) \cdot (1 + \frac{G\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'^2})} \hspace{0.1cm} \right]$$

$$\Rightarrow \; \; 2 \cdot \alpha^2(\omega) \approx R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' + \omega^2 \cdot L' C\hspace{0.03cm}'\cdot \left [-1 +\sqrt{1 + \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}+ \frac{G\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'^2}} \hspace{0.1cm} \right].$$

Über die für kleine $x$ gültige Näherung $\sqrt{1 + x}\approx 1+x/2$ kommt man zum Zwischenergebnis für (unendlich) große Frequenzen:

$$2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty) = R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.05cm}' + \omega^2 \cdot L' C\hspace{0.05cm}'\cdot \left [ -1 +1 + {1}/{2} \cdot \left ( \frac{R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}{ \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}+ \frac{G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2} \right) \hspace{0.1cm} \right] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty) = \frac{2 \cdot R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}' L'+ R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 C\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2+ G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}{2 \cdot C\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}' }= \frac{(R\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}' + G\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}')^2}{2 \cdot C\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}' }$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha(\omega \rightarrow \infty) = {1}/{2}\cdot \frac{R\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}' + G\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}'}{\sqrt{ C\hspace{0.03cm}' L\hspace{0.03cm}' }}= {1}/{2}\cdot \left [R\hspace{0.03cm}' \cdot \sqrt{\frac{C\hspace{0.03cm}'}{L\hspace{0.03cm}'}}+G\hspace{0.03cm}' \cdot \sqrt{\frac{L\hspace{0.03cm}'}{C\hspace{0.03cm}'}}\right]\hspace{0.05cm}.$$

Mit den eingesetzten Zahlenwerten ergibt sich

$$\alpha(f \rightarrow \infty) = \alpha(\omega \rightarrow \infty) = {0.5\,{\rm Np/km}}\cdot \left [100 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot10^{-3}}}+10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot10^{-3}}{2 \cdot10^{-7}}}\right] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.5 \, {\rm Np}/{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Für kleine Frequenzen gilt $\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.03cm}'$ und $ \omega C\hspace{0.03cm}' \gg G\hspace{0.03cm}'$.

Unter Vernachlässigung des $\omega^2$–Anteils erhält man:

$$\alpha(f) = \sqrt{\frac {1}{2}\cdot \left (R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}'\right)+ \frac {1}{2}\sqrt{(R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2) \cdot (G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2+ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2)}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha(f) \approx \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}'}{2}+ \frac {R\hspace{0.03cm}' \cdot \omega C\hspace{0.03cm}'}{2}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.03cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f} \approx \sqrt{ {1}/{2} \cdot f \cdot R\hspace{0.03cm}' \cdot 2 \pi C\hspace{0.03cm}'} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass der erste Anteil gemäß Teilaufgabe (1) außer bei der Frequenz $f = 0$ vernachlässigt werden kann.
Für die Frequenz $f = 1 \ \rm kHz$ ergibt sich die Näherung

$$\alpha(f = 1\,{\rm kHz}) = \sqrt{ {1}/{2} \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} \cdot 100\,\frac{\rm \Omega }{ {\rm km}} \cdot 2 \cdot 10^{-7} \,\frac{\rm s }{ {\rm \Omega \cdot km}}} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm Np }/{ {\rm km}}} \hspace{0.05cm}.$$

Für die Frequenz $f = 4 \ \rm kHz$ ist das Dämpfungsmaß doppelt so groß:

$$\alpha(f = 4\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.2\,{\rm Np }/{ {\rm km}}} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Für den Wellenwiderstand gilt bei niedrigen Frequenzen näherungsweise:

$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' + {\rm j} \cdot f \cdot 2 \pi L\hspace{0.03cm}'}{G\hspace{0.03cm}' + {\rm j} \cdot f \cdot 2 \pi C\hspace{0.03cm}'}} \approx \sqrt\frac{1 }{ {\rm j}} \cdot \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' }{ f \cdot 2 \pi C\hspace{0.03cm}'}}= (1 - {\rm j})\cdot \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' }{ 2 \cdot f \cdot 2 \pi C\hspace{0.03cm}'}}\hspace{0.05cm}.$$

Mit den angegebenen Leitungsbeschlägen erhält man:

$${\rm Re}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\} = \sqrt{\frac {100\,{\rm \Omega/km }}{ 2 \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} \cdot 2 \cdot 10^{-7} \,{\rm s/(\Omega \cdot km) }}} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\,{\rm \Omega}}\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm Im}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\} = -{\rm Re}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\}\hspace{0.15cm}\underline{= -500\,{\rm \Omega}}\hspace{0.05cm}.$$