Exercise 2.1: Election Demand

Result of election demand

In an election, the three candidates $A$, $B$ and $C$ are running for mayor.

The candidate who receives more than $50\%$ of the votes cast is elected.
If none of the three candidates succeeds in the first ballot, a run-off election shall be held between the two candidates with the most votes.

Immediately after the closing of the polling stations, the result of an election demand shall be presented:

Candidate $A$: $48\%$, Candidate $B$: $30\%$, Candidate $C$: $22\%$.

This demand is based on a survey of only $N = 2000$ of the total $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$ voters.

In answering the following questions, assume the following:

The actual (percentage) votes obtained in the election by candidates $A$, $B$ and $C$ can be taken as the probabilities $p_{\rm A}$, $p_{\rm B}$ and $p_{\rm C}$ although these are also themselves determined as relative frequencies $($related to $N')$ .
The $2000$ selected voters ideally represent the entire electorate in a statistical sense and answered truthfully when asked to vote.
According to Bernoulli's Law of Large Numbers the results of this demand are to be understood as relative frequencies:

$$h_{\rm A} = 0.48,\hspace{0.8cm}h_{\rm B} = 0.30,\hspace{0.9cm} h_{\rm C} = 0.22.$$

Hints:

The exercise belongs to the chapter From Random Experiment to Random Variable.

The topic of this chapter is illustrated with examples in the (German language) learning video Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen $\Rightarrow$ Bernoulli's Law of Large Numbers.

Questions

Musterlösung

Solution

(1) Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass $\underline{\text{Kandidat} \ A}$ wahrscheinlich gewinnt.

(2) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage $(h_{\rm A})$ vom endgültigen Ergebnis $(p_{\rm A})$ betragsmäßig um mehr als $2\%$ abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der großen Zahlen mit $N = 2000$:

$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$

Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen Fälle, dass $p_{\rm A} \le 46\%$ und $p_{\rm A} \ge 50\%$ ist.
Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:

$${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$

(3) Mit $\varepsilon = 4\%$ $($ergibt sich aus $0.26 -0.22)$ liefert das Gesetz der großen Zahlen:

$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$

Daraus folgt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat $C$ mindestens $26\%$ der Stimmen erhält, ist nicht größer als $3.9\%$.
Da $p_{\rm A} = 0.48$ fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig $p_{\rm B} \le 0.26$.
Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgrößen handelt, sind $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$ und $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$ gleich.
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass $C$ die Stichwahl erreicht, ebenfalls auf $3.9\%$ beschränkt:

$${\rm Pr(}C\rm \hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 0.039 \hspace{0.15cm}\underline{= 3.9 \%}.$$

	candidate $A$,
	Candidate $B$,
	Candidate $C$.