Exercise 3.4: Trapezoidal Spectrum and Pulse
Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion $X(f)$ gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter $X_0$, $f_1$ und $f_2$ vollständig beschrieben wird. Für die Eckfrequenzen gelte $f_2 > 0$ und $0 \geq f_1 \geq f_2$. Anstelle der Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ können auch die beiden folgenden Beschreibungsgrößen verwendet werden:
- die äquivalente Bandbreite:
$$\Delta f = f_1 + f_2,$$
- der so genannte Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich):
$$r_f = \frac{ {f_2 - f_1 }}{ {f_2 + f_1 }}.$$
Mit diesen Größen lautet die dazugehörige Zeitfunktion (siehe Grafik in der Mitte):
$$x( t ) = X_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi} \cdot r_f \cdot \Delta f\cdot t} ).$$
Hierbei ist $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$ die so genannte Spaltfunktion. In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte $X_0 = 10^{–3}$ V/Hz, $f_1 = 1$ kHz und $f_2 = 3$ kHz verwendet werden. Die Zeit $T = 1/\Delta f$ dient lediglich zu Normierungszwecken.
Ab Aufgabe 3) wird ein trapezförmiges Signal $y(t)$ betrachtet, das formgleich mit dem Spektrum $X(f)$ ist. Als Beschreibungsgrößen können hier verwendet werden: die Impulsamplitude $y_0 = y(t = 0)$, die äquivalente Impulsdauer (definiert über das flächengleiche Rechteck):
$$\Delta t = t_1 + t_2,$$
der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich):
$$r_t = \frac{ {t_2 - t_1 }}{ {t_2 + t_1 }}.$$
Es gelte $y_0 = 4$ V, $\Delta t = 1$ ms und $r_t = 0.5$.
Hinweis: Diese Aufgabe soll unter Verwendung von Vertauschungssatz und Ähnlichkeitssatz gelöst werden. Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
- Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
- Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort
Fragebogen
Musterlösung
$$\Delta f = f_1 + f_2 \hspace{0.15 cm}\underline{= 4\;{\rm{kHz}}}{\rm{.}}$$ Für den Rolloff-Faktor gilt:
$${ {r_f = }}\frac{ {f_2 - f_1 }}{ {f_2 + f_1 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.5}.$$ 2. Der Maximalwert des Impulses $x(t)$ tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf: $x_0 = X_0 \cdot \Delta f = 4$ V. Zum Zeitpunkt $t = T = 1/\Delta f$ gilt aufgrund von $\text{si}(\pi) = 0$:
$$x( {t = T} ) = x_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$
Auch bei allen Vielfachen von $T$ weist $x(t)$ Nulldurchgänge auf. Zum Zeitpunkt $t = T/2$ gilt:
$$x( {t = T/2} ) = x_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( { { {\rm{\pi }}}/{4}} ) = x_0 \cdot \frac{ { 1 \cdot \sqrt 2 /2}}{ { {\rm{\pi /}}2 \cdot {\rm{\pi /4}}}} = x_0 \cdot \frac{ {4 \cdot \sqrt 2 }}{ { {\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
3. Die zum trapezförmigen Spektrum $X(f)$ zugehörige Zeitfunktion lautet (siehe Angabe):
$$x( t ) = X_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t} ).$$
Da sowohl $X(f)$ als auch $x(t)$ reell sind und $y(t)$ formgleich mit $X(f)$ ist, erhält man unter Berücksichtigung aller Äquivalenzen für die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
$$Y( f ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot r_t \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
Insbesondere gilt:
$$Y( {f = 0} ) = y_0 \cdot \Delta t \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{,}}$$
$$Y( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{ {\rm{\pi }}}{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{ {\rm{\pi }}}{4}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{,}}$$
$$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{ {\rm{\pi }}}{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}\;{\rm{.}}$$
4. Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ wird nicht verändert: $Y_0 = y_0 \cdot \Delta t = 4 \cdot 10^{–3}$ V/Hz. Da nun die Zeitfunktion nur halb so breit ist, verbreitert sich das Spektrum um den Faktor 2:
$$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = Y_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{ {\rm{\pi }}}{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\frac{ {\rm{\pi }}}{4}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\; \cdot 10^{-3}\,{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$
In der Teilaufgabe 3) ist dieser Spektralwert bei der Frequenz $f = 0.5$ kHz aufgetreten.
