Exercise 5.3: Mean Square Error

Wir betrachten drei impulsartige Signale, nämlich einen Gaußimpuls entsprechend

$$x_1(t) = A \cdot {\rm e}^{- \pi (t/T)^2} \hspace{0.05cm},$$

einen Rechteckimpuls x2(t) mit der Amplitude A und der Dauer T,

$$x_2(t) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |t| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |t| > T/2 \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

einen Spaltimpuls gemäß

$$x_3(t) = A \cdot {\rm si}(\pi \cdot t/ T) ,\hspace{0.15cm}{\rm si}(x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$

Die Signalparameter seien A = 1 V und T = 1 ms. Die konventionelle Fouriertransformation ⇒ siehe Kapitel 3.1 führt zu folgenden Spektralfunktionen: X1(f) ist ebenfalls gaußförmig, X2(f) verläuft entsprechend der si–Funktion, X3(f) ist für |f| < 1/(2T) konstant und außerhalb 0. Für alle Spektralfunktionen gilt X(f = 0) = A · T. Ermittelt man das frequenzdiskrete Spektrum durch die Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit den DFT-Parametern N = 512 und fA · T = 1/4, 1/8 bzw. 1/16, so wird dies aufgrund von Abbruch– und/oder Aliasingfehler zu Verfälschungen führen. Hierbei gibt N die Anzahl der berücksichtigten Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich an und fA den Stützstellenabstand im Frequenzbereich. Die weiteren DFT–Parameter liegen mit N und fA eindeutig fest. Für diese gilt:

$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A},\hspace{0.3cm}T_{\rm P} = 1/f_{\rm A},\hspace{0.3cm}T_{\rm A} = T_{\rm P}/N \hspace{0.05cm}.$$

Die Genauigkeit der jeweiligen DFT–Approximation wird durch den mittleren quadratischen Fehler (MQF) erfasst:

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Die sich ergebenden MQF–Werte sind in obiger Grafik für N = 512 sowie für fA · T = 1/4, fA · T = 1/8 bzw. fA · T = 1/16 angegeben. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.3. Diese sind auch in dem folgenden Lernvideo zusammengefasst: Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT (Dauer 7:26)

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. a) Mit den DFT–Parametern N = 512 und fA · T = 1/8 folgt nach Multiplikation fP · T = 64. Dadurch wird der Frequenzbereich –fP/2 ≤ f < fP/2 erfasst:

$$f_{\rm max }\cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 32}\hspace{0.05cm}.$$

b) Die Periodifizierung der Zeitfunktion basiert auf dem Parameter TP = 1/fA = 8T. Der Abstand zweier Abtastwerte beträgt somit

$$T_{\rm A}/T = \frac{T_{\rm P}/T}{N} = \frac{8}{512}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.015625}\hspace{0.05cm}.$$

c) Mit dieser Maßnahme wird gleichzeitig TP von 8T auf 4T halbiert. Berücksichtigt werden somit nur noch Abtastwerte im Bereich –2T ≤ t < 2T, was zu einer (geringfügigen) Erhöhung des Abbruchfehlers führt. Der mittlere quadratische Fehler (MQF) steigt dadurch beim Gaußimpuls x1(t) von 0.15 · 10–15 auf 8 · 10–15, obwohl der Aliasingfehler durch diese Maßnahme etwas kleiner wird. d) Durch die Halbierung von fA wird auch fP halbiert. Dadurch erhöht sich der Aliasingfehler bei gleichzeitig kleinerem Abbruchfehler. Insgesamt steigt beim Gaußimpuls x1(t) der mittlere quadratische Fehler von 1.5 · 10–16 auf 3.3 · 10–16. e) Wie aus der Grafik zu ersehen ist, trifft die letzte Aussage nicht zu im Gegensatz zu den ersten beiden. Aufgrund des langsamen, si–förmigen Abfalls der Spektralfunktion dominiert der Aliasingfehler. Der MQF–Wert ist bei fA · T = 1/8 mit 1.4 · 10–5 deshalb deutlich größer als beim Gaußimpuls (1.5 · 10–16). f) Die Spektralfunktion X3(f) hat hier einen rechteckförmigen Vorlauf, so dass die beiden ersten Aussagen nicht zutreffen. Dagegen ist bei dieser si–förmigen Zeitfunktion ein Abbruchfehler unvermeidbar. Dieser führt zu den angegebenen großen MQF–Werten ⇒ Lösungsvorschlag 3.

	Der Abbruchfehler wird vergrößert.
	Der Aliasingfehler wird vergrößert.

	MQF wird größer, da die Spektralfunktion X2(f) asymptotisch langsamer abfällt als X1(f).
	Es dominiert der Aliasingfehler.
	Es dominiert der Abbruchfehler.