Exercise 3.1: Cosine-square PDF and PDF with Dirac Functions

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Cosinus–Quadrat–WDF (oben) und Dirac–WDF (unten)

Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen  $x$  und  $y$.

• Die WDF der Zufallsgröße  $x$  lautet in analytischer Form:

$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$

• Die WDF der Zufallsgröße  $y$  besteht aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der Grafik angegebenen Gewichten.

Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale  $x(t)$  und  $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich  $\pm 2$  „amplitudenbegrenzt“ sind.  Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße.

• Es gilt folgende Integralgleichung:

$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen uneingeschränkt zu?

	Die Zufallsgröße  $x$  ist wertkontinuierlich.
	Die Zufallsgröße  $y$  ist wertdiskret.
	Die Zufallsgröße  $y$  ist gleichzeitig zeitdiskret.
	Die WDF sagt nichts aus bezüglich "zeitdiskret/zeitkontinuierlich".

2

Berechnen Sie den Parameter  $A$  der WDF  $f_x(x)$.

$A \ = \ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x = 0$  (exakt) gilt?

${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x > 0$  ist?

${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y > 0$  ist?

${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$  betragsmäßig kleiner als  $1$  ist?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $

7

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  betragsmäßig kleiner als   $1$  ist?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $

Musterlösung

Solution

Zur Berechnung der WDF-Fläche

(1)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

• $x$  ist wertkontinuierlich.
• $y$  ist wertdiskret  $(M = 5)$.
• Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.

(2)  Die Fläche unter der WDF muss  $1$  ergeben.

• Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.

(3)  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße  $x$  einen festen Wert  $x_0$  annimmt, ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.

• Für die wertdiskrete Zufallsgröße  $y$  gilt dagegen gemäß der Angabe:   ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$  $($Gewicht der Diracfunktion bei  $y = 0)$.

(4)  Wegen  ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$  und der WDF-Symmetrie ergibt sich  $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.

(5)  Da  $y$  eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für  $y = 1$  und  $y = 2$:

$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$

(6)  Das Ereignis  $|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} | < 1$  ist hier identisch mit  $y = 0$. Damit erhält man:

$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$

(7)  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von  $-1$  bis  $+1$  über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße  $x$.

• Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:

$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.818}.$$