Exercise 4.3Z: Dirac-shaped "2D-PDF"

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Betrachtete diracförmige 2D-WDF

In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$  der zwei diskreten Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  dargestellt.

• Diese 2D–WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert.  Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
• Es ist zu erkennen, dass sowohl  $x$  als auch  $y$  alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen  $-2$  und  $+2$  annehmen können.
• Die Varianzen der beiden Zufallsgrößen sind wie folgt gegeben:   $\sigma_x^2 = 2$,   $\sigma_y^2 = 1.4$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zweidimensionale Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Momente einer diskreten Zufallsgröße

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen trefen hinsichtlich der Zufallsgröße  $x$  zu?

	Die Wahrscheinlichkeiten für  $-2$,  $-1$,    $0$,  $+1$  und  $+2$  sind gleich.
	Die Zufallsgröße  $x$  ist mittelwertfrei  $(m_x = 0)$.
	Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(x \le 1)$  ist  $0.9$.

2

Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße  $y$  zu?

	Die Wahrscheinlichkeiten für  $-2$,  $-1$,    $0$,  $+1$  und  $+2$  sind gleich.
	Die Zufallsgröße  $y$  ist mittelwertfrei  $(m_y = 0)$.
	Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(y \le 1)$  ist  $0.9$.

3

Berechnen Sie den Wert der zweidimensionalen VTF an der Stelle  $(+1, +1)$.

$F_{xy}(+1, +1) \ = \ $

4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $x \le 1$  gilt, unter der Bedingung, dass gleichzeitig  $y \le 1$  ist.

${\rm Pr}(x ≤ 1\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}y ≤ 1)\ = \ $

5

Berechnen Sie das gemeinsame Moment  $m_{xy}$  der Zufallsgrößen  $x$  und  $y$.

$m_{xy}\ = \ $

6

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{xy}$  und geben Sie die Gleichung der Korrelationsgeraden  $K(x)$  an.  Wie groß ist deren Winkel zur  $x$-Achse?

$\rho_{xy}\ = \ $

$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x}\ = \ $ $\ \rm Grad$

7

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Die Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  sind statistisch unabhängig.
	Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF, dass  $x$  und  $y$  statistisch voneinander abhängen.
	Aus dem berechneten Korrelationskoeffizienten  $\rho_{xy}$  kann man auf die statistische Abhängigkeit zwischen  $x$  und  $y$  schließen.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die beiden ersten Antworten:

• Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$  erhält man aus der 2D–WDF $f_{xy}(x, y)$  durch Integration über  $y$.
• Für alle möglichen Werte  $ x \in \{-2, -1, \ 0, +1, +2\}$  sind die Wahrscheinlichkeiten gleich  $0.2$.
• Es gilt  ${\rm Pr}(x \le 1)= 0.8$  und der Mittelwert ist  $m_x = 0$.

Diskrete Rand–WDF $f_{y}(y)$

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Durch Integration über  $x$  erhält man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
• Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert  $m_y = 0$.
• Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist  ${\rm Pr}(y \le 1)= 0.9$.

(3)  Definitionsgemäß gilt:

$$F_{xy}(r_x, r_y) = {\rm Pr} \big [(x \le r_x)\cap(y\le r_y)\big ].$$

• Für  $r_x = r_y = 1$  folgt daraus:

$$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ].$$

• Wie aus der 2D–WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ]\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.

(4)  Hierfür kann mit dem Satz von Bayes auch geschrieben werden:

$$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr\big [(\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1)\big ]}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy} \rm (1, \rm 1)}{F_{y}\rm (1)}.$$

• Mit den Ergebnissen aus  (2)  und  (3)  folgt daraus  $ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = 0.8/0.9 = 8/9 \hspace{0.15cm}\underline{=0.889}$.

(5)  Entsprechend der Definition gilt für das gemeinsame Moment:

$$m_{xy} = {\rm E}\big[x\cdot y \big] = \sum\limits_{i} {\rm Pr}( x_i \cap y_i)\cdot x_i\cdot y_i. $$

• Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit  $x_i \cdot y_i \ne 0$:

$$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$

2D-WDF und Korrelationsgerade  $y = K(x)$

(6)  Für den Korrelationskoeffizienten gilt:

$$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$

• Hierbei ist berücksichtigt, dass wegen  $m_x = m_y = 0$  die Kovarianz  $\mu_{xy}$  gleich dem Moment  $m_{xy}$  ist.

• Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet:

$$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$

• Im Bild ist die Gerade  $y = K(x)$  eingezeichnet.  Der Winkel zwischen Korrelationsgerade und  $x$-Achse beträgt

$$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x} = \arctan(0.6) \hspace{0.15cm}\underline{=31^\circ}.$$

(7)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Bei statistischer Unabhängigkeit müsste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$  gelten, was hier nicht erfüllt ist.
• Aus der Korreliertheit  $($folgt aus  $\rho_{xy} \ne 0)$  kann direkt auf die statistische Abhängigkeit geschlossen werden,
• denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abhängigkeit,
• nämlich die lineare statistische Abhängigkeit.