Exercise 2.5: Half-Wave Rectification

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Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des Signals $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals $w(t)$ mit der Amplitude $\pi /2$ ergibt. Die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$ wird als bekannt vorausgesetzt. Diese wurde bereits in der Aufgabe A2.4 ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür: $$u(t)=1+\frac{2}{3}\cos(\omega_1t)-$$ $$-\frac{2}{15}\cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cos(3\omega_1t)-\dots$$

Die Grundkreisfrequenz ist mit ω1 bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale $u(t)$ und $v(t)$ jeweils $T/2$ beträgt, gilt $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$. Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden. Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen:

$$u(t)=1+\frac{2}{3}\cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15}\cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35}\cos(6\omega_0t)-\dots$$

Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies:

• der Gleichkoeffizient ergibt sich zu $A_0 = 1$,
• alle Sinuskoeffizienten $B_n$ sind 0,
• die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n$ = 1, 3, 5, ... sind 0,
• die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$ = 2, 4, 6, ... sind ungleich 0:

$$A_n=(-1)^{\hspace{0.01cm}n/2+1}\frac{2}{n^2-1}.$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:

$$A_1=A_3=A_5=\dots=0,$$

$$A_2=2/3; \;A_4=-2/15;\;A_6=2/35;\;A_8=-2/63.$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.4. Diese sind in zwei Lernvideos zusammengefasst: Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten (Dauer 3:50) Eigenschaften und Genauigkeit der Fourierreihe (Dauer Teil 1: 3:31 – Teil 2: 8:39)

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten des Signals $v(t)$. Welchen Wert besitzt der Koeffizient $A_2$?

Signal $v(t)$: $A_2$ =

2

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten des Signals $w(t)$. Welchen Wert besitzt der Koeffizient $B_1$?

Signal $w(t)$: $B_1$ =

3

Wie kann $x(t)$ aus $v(t)$ und $w(t)$ zusammengesetzt werden? Geben Sie die entsprechenden Fourierkoeffizienten des Signals $x(t)$ an, insbesondere

Signal $x(t)$: $A_0$ =

Signal $x(t)$: $B_1$ =

Signal $x(t)$: $A_2$ =

Musterlösung

Solution

1. Auch das verschobene Signal $v(t)$ ist gerade und alle Sinuskoeffizienten sind dementsprechend 0. Am Gleichsignalkoeffizienten ändert sich ebenfalls nichts: $A_0 = 1$. Aus den Signalverläufen ist zu erkennen, dass $v(t) = u(t – T/4)$ gilt:

$$v(t)=1+\frac{2}{3}\cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\frac{2}{15}\cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))+\frac{2}{35}\cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\dots$$

Die Cosinusterme können nun mit $\omega_0 \cdot T = 2 \pi$ umgeformt werden:

$$\cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(2\omega_0t-\pi)=-\cos(2\omega_0t),$$

$$\cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(4\omega_0t-2\pi)=\cos(4\omega_0t),$$

$$\cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(6\omega_0t-3\pi)=-\cos(6\omega_0t).$$

Damit erhält man für die Fourierreihe

$$v(t)=1-{2}/{3}\cdot \cos(2\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(4\omega_0t)-{2}/{35}\cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$

bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$:

$$A_n=\frac{-2}{n^2-1}.$$

Insbesondere ist $A_2 = –2/3$.

2. Wegen $w(t) = \pi /2 \cdot sin(\omega_0 t)$ sind alle Fourierkoeffizienten außer $B_1 = \pi /2 =1.571$ gleich 0.

3. Aus der grafischen Darstellung erkennt man den Zusammenhang

$$x(t)=\frac{1}{2} \cdot [v(t)+w(t)].$$

Das bedeutet:

$$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\cdot \sin(\omega_0 t)-\frac{1}{3}\cdot \cos(2\omega_0 t)-\frac{1}{15}\cdot \cos(4\omega_0 t)-\frac{1}{35}\cdot \cos(6\omega_0 t)-\ldots$$

Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit $A_0 =1/2$; $B_1 = \pi /4 = 0.785$ und $A_2 = –1/3$.