Exercise 4.12Z: White Gaussian Noise

Leistungsdichtespektren
von Weißem Rauschen

Man bezeichnet ein Rauschsignal $n(t)$ als weiß, wenn darin alle spektralen Anteile ohne Bevorzugung von irgendwelchen Frequenzen enthalten sind.

Das physikalische, nur für positive Frequenzen $f$ definierte Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{n+}(f)$ ist konstant $($gleich $N_0)$ und reicht frequenzmäßig bis ins Unendliche.
${\it \Phi}_{n+}(f)$ ist in der oberen Grafik grün dargestellt. Das Pluszeichen im Index soll anzeigen, dass die Funktion nur für positive Werte von $f$ gültig ist.
Zur mathematischen Beschreibung verwendet man meist das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{n}(f)$. Hier gilt für alle Frequenzen von $-\infty$ bis $+\infty$ (blauer Kurvenzug im oberen Bild):

$${\it \Phi}_n (f) ={N_0}/{2}.$$

In der unteren Grafik sind die beiden Leistungsdichtespektren ${\it \Phi}_{b}(f)$ und ${\it \Phi}_{b+}(f)$ eines bandbegrenzten weißen Rauschsignals $b(t)$ dargestellt. Es gilt mit der einseitigen Bandbreite $B$:

$${\it \Phi}_b(f)=\left\{ {N_0/2\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad |f|\le B \atop {\rm sonst}}\right.,$$

$${\it \Phi}_{b+}(f)=\left\{ {N_0\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad 0 \le f\le B \atop {\rm sonst}}\right.$$

Bei der Rechnersimulation von Rauschvorgängen muss stets von bandbegrenztem Rauschen ausgegangen werden, da nur zeitdiskrete Vorgänge behandelt werden können. Dazu muss das Abtasttheorem eingehalten werden. Dieses sagt aus, dass die Bandbreite $B$ gemäß dem Stützstellenabstand $T_{\rm A}$ der Simulation eingestellt werden muss.

Gehen Sie in der gesamten Aufgabe von folgenden Zahlenwerten aus:

Die Rauschleistungsdichte – bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$ – beträgt $N_0 = 4 \cdot 10^{-14}\hspace{0.05cm}\rm V^2/Hz$.
Die (einseitige) Bandbreite des bandbegrenzten weißen Rauschens beträgt $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Leistungsdichtespektrum.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
Die Eigenschaften von weißem Rauschen werden im zweiten Teil des Lernvideos Der AWGN-Kanal zusammengefasst.

Fragebogen

	Die AKF $\varphi_n(\tau)$ hat einen si-förmigen Verlauf.
	Die AKF $\varphi_n(\tau)$ ist ein Dirac bei $\tau = 0$ mit Gewicht $N_0/2$.
	In der Praxis gibt es kein (exakt) weißes Rauschen.
	Thermisches Rauschen kann stets als weiß angenähert werden.
	Weißes Rauschen ist stets gaußverteilt.

$\varphi_b(\tau = 0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2$

$\sigma_b \ = \ $

$\ \rm mV$

$T_{\rm A} \ = \ $

$\ \rm ns$

	Die Abtastwerte sind unkorreliert.
	Die Abtastwerte sind positiv korreliert.
	Die Abtastwerte sind negativ korreliert.

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

Die Autokorrelationsfunktion (AKF) ist die Fouriertransformierte des Leistungsdichtespektrums (LDS). Dabei gilt:

$${\it \Phi}_n (f) = {N_0}/{2} \hspace{0.3cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.3cm} \varphi_n (\tau)={N_0}/{2} \cdot {\rm \delta} ( \tau).$$

Allerdings gibt es in der Physik kein "echt" weißes Rauschen, da ein solches eine unendlich große Signalleistung aufweisen müsste $($das Integral über das LDS sowie der AKF-Wert bei $\tau = 0$ sind jeweils unendlich groß$)$.
Thermisches Rauschen hat bis zu Frequenzen von etwa $\text{6000 GHz}$ ein konstantes LDS. Da alle (derzeitigen) Übertragungssysteme in einem sehr viel niedrigeren Frequenzbereich arbeiten, kann man thermisches Rauschen mit guter Näherung als "weiß" bezeichnen.
Die statistische Eigenschaft "weiß" sagt nichts über die Amplitudenverteilung aus, die allein durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) festgelegt ist.
Betrachtet man die Phase eines bandpassförmigen Signals als die stochastische Größe, so wird diese oft als gleichverteilt zwischen $0$ und $2\pi$ modelliert.
Bestehen zwischen den jeweiligen Phasenwinkeln zu unterschiedlichen Zeiten keine statistischen Bindungen, so ist auch dieser Zufallsprozess "weiß".

AKF von bandbegrenztem Rauschen

(2) Das Leistungsdichtespektrum ist ein Rechteck der Breite $2B$ und der Höhe $N_0/2$.

Die Fourierrücktransformation ergibt eine si-Funktion:

$$\varphi_b(\tau) = N_0 \cdot B \cdot {\rm si} (2 \pi B \tau)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_b(\tau = 0) = N_0 \cdot B \hspace{0.15cm}\underline {=4}\cdot 10^{-6} \ \rm V^2.$$

(3) Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ ergibt die Leistung.

Die Wurzel hieraus bezeichnet man als den Effektivwert:

$$\sigma_b = \sqrt{\varphi_b(\tau = 0)} \hspace{0.15cm}\underline {=2 \hspace{0.05cm}\rm V}.$$

(4) Die in (3) berechnete AKF hat Nullstellen im äquidistanten Abstand von $T_{\rm A}= 1/(2B)\hspace{0.15cm}\underline {=5\hspace{0.05cm} \rm ns}$:

Es bestehen keine statistischen Bindungen zwischen den beiden Signalwerten $b(t)$ und $b(t + \nu \cdot T_{\rm A})$,
wobei $\nu$ alle ganzzahligen Werte annehmen kann.

(5) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.

Der AKF-Wert bei $\tau = T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$ beträgt

$$\varphi_b(\tau = T_{\rm A}) = {\rm 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2 \cdot si (\pi/5) \approx 3.742 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2} > 0.$$

Dieses Ergebnis besagt: Zwei um $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$ auseinander liegende Signalwerte sind positiv korreliert:
Ist $b(t)$ positiv und groß, dann ist mit großer Wahrscheinlichkeit auch $b(t+1 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ positiv und groß.
Dagegen besteht zwischen $b(t)$ und $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ eine negative Korrelation: Ist $b(t)$ positiv, so ist $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ wahrscheinlich negativ.