Exercise 4.3: Natural and Discrete Sampling

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Zur natürlichen und diskreten Abtastung

Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals  $q(t)$  mit einem  Diracpuls  $p_δ(t)$  beschreiben:

$$q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$

Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls  $p_δ(t)$  lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.  Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:

$$p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm} g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte.

In der Grafik ist dieses Verhältnis mit  $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$  sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der  "natürlichen Abtastung"  und der  "diskreten Abtastung"  besonders deutlich werden zu lassen:

• Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal  $q_{\rm A}(t)$  gleich dem Produkt aus Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  und analogem Quellensignal  $q(t)$:

$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen lautet die entsprechende Gleichung für die diskrete Abtastung:

$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik sind diese Signale in blau  (natürliche Abtastung)  bzw. grün  (diskrete Abtastung)  skizziert.

Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass  $H(f)$  mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$  und der Verstärkung  $T_{\rm A}/T_{\rm R}$  im Durchlassbereich eingesetzt:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Pulscodemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Natürliche und diskrete Abtastung.
• Das abgetastete Quellensignal wird mit  $q_{\rm A}(t)$  bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit  $Q_{\rm A}(f)$.
• Die Abtastung erfolgt stets bei  $ν · T_{\rm A}$.

Fragebogen

1

Es gelte  $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$.  Geben Sie hierfür das normierte Spektrum  $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$  an.  Welcher Spektralwert tritt bei  $f = 0$  auf?

$G_{\rm R}(f=0)/T_{\rm A} \ = \ $

2

Wie lautet das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  bei natürlicher Abtastung?  Vorschläge:

	Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.
	Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = \big[{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})\big] ∗ Q(f)$.
	Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = \big[P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)\big] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.

3

Eignet sich bei natürlicher Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation?

	Ja.
	Nein.

4

Wie lautet das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  bei diskreter Abtastung?  Vorschläge:

	Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.
	Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = \big[{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})\big] ∗ Q(f)$.
	Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = \big[P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)\big] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.

5

Eignet sich bei diskreter Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation?

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

Solution

(1)  Das Spektrum des Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  mit Amplitude  $1$  und Dauer  $T_{\rm R}$  lautet:

$$G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

• Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:

$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$

• Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung  (mit einem Diracpuls)  und der letzte bei diskreter Abtastung.

(3)  Die Antwort ist JA:

• Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses

$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$

• Bei erfülltem Abtasttheorem und richtigem Tiefpass liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit  $μ = 0$  im Durchlassbereich.
• Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors  $T_{\rm A}/T_{\rm R}$  erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:

$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag.

• Verlagert man den Faktor  $1/T_{\rm A}$  zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:

$$q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Die Antwort ist NEIN:

• Die Gewichtungsfunktion  $G_{\rm R}(f)$  betrifft nun auch den inneren Kern  $(μ = 0)$  des Faltungsproduktes.
• Alle anderen Terme  $(μ ≠ 0)$  werden durch den Tiefpass eliminiert.  Man erhält hier im relevanten Bereich  $|f| < f_{\rm A}/2$:

$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$

• Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der  $\rm si$–Funktion gedämpft.
• Die höchste  Signalfrequenz  $(f = f_{\rm A}/2)$  wird hierbei am stärksten abgesenkt:

$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2}) = Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})= Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$