Exercise 3.5: PM and FM for Rectangular Signals

Zwei Signalverläufe bei Winkelmodulation

Assume a bipolar and rectangular source signal $q(t)$ , as shown in the upper diagram. This signal can only take on the two signal values $±A = ±2 \ \rm V$ and the duration of the positive and negative rectangles are each $T = 1 \ \rm ms$. The period of $q(t)$ is therefore $T_0 = 2 \ \rm ms$.

The signals $s_1(t)$ and $s_2(t)$ display two transmit signals with angle modulation $\rm (WM)$, each of which can be represented as

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big [\psi (t) \big ]$$

Here, we distinguish between phase modulation $\rm (PM)$ with the angular function

$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$

and frequency modulation $\rm (FM)$, where the instantaneous freqiency is linearly related to $q(t)$:

$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

$K_{\rm PM}$ and $K_{\rm FM}$ denote the dimensionally constrained constants given by the realizations of the PM and FM modulators, respectively. The frequency deviation $Δf_{\rm A}$ indicates the maximum deviation of the instantaneous frequency from the carrier frequency.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation.

Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als Phase Shift Keying $\rm (PSK)$ und entsprechend die Frequenzmodulation als Frequency Shift Keying $\rm (FSK)$ bezeichnet.

Fragebogen

	$s_1(t)$ beschreibt eine Phasenmodulation.
	$s_1(t)$ beschreibt eine Frequenzmodulation.

$ϕ_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm Grad$

$f_{\rm T} · T \ = \ $

$K_{\rm PM} \ = \ $

$\ \rm V^{-1}$

$Δf_{\rm A} · T \ = \ $

$K_{\rm FM} \ = \ $

$\ \rm (Vs)^{-1}$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist die Antwort 2:

Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf $s_2(t)$.
Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei $s_1(t)$.

(2) Mit $q(t) = 0$ erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ kann direkt nur aus dem PM–Signal $s_2(t)$ ermittelt werden.

Durch Abzählen der Schwingungen von $s_2(t)$ im Zeitintervall $T$ erkennt man, dass $f_{\rm T} · T\hspace{0.15cm}\underline{ = 6}$ verwendet wurde.
Bei der Frequenzmodulation eines bipolaren Quellensignals tritt $f_{\rm T}$ nicht direkt auf.
Die Grafiken lassen allerdings darauf schließen, dass hier ebenfalls $f_{\rm T} · T = 6$ zugrunde liegt.

(4) Der Amplitudenwert $A = 2 \ \rm V$ führt zur Phase $90^\circ$ bzw. $π/2$ (Minus–Sinusverlauf). Daraus folgt:

$$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Die Grafik für $s_1(t)$ zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls $T$ entweder vier oder acht Schwingungen auftreten: $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$

Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz $f_{\rm T} · T = 6$ ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub:

$$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$

(6) Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden:

$$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$

Mit $Δf_{\rm A} · {\rm A} = 2$ erhält man somit:

$$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$