Exercise 3.8: Modulation Index and Bandwidth

Bessel function values

A harmonic oscillation of the form

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$

is angle-modulated and then the one-sided magnitude spectrum $|S_+(f)|$ is obtained.

with a message frequency of $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ the following spectral lines can be seen with the following weights:

$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.

Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien

$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$

$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$

sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.

Hints:

This exercise belongs to the chapter Frequency Modulation.
Reference is also made to the chapter Phase Modulation and particularly to the section Signal characteristics with frequency modulation.

Questions

	Phasenmodulation.
	Frequenzmodulation.

$η_2 \ = \ $

$A_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm V$

$B_2 \ = \ $

$\ \rm kHz$

$η_4\ = \ $

$B_4 \ = \ $

$\ \rm kHz$

Solution

(1) Es handelt sich um eine Frequenzmodulation ⇒ Antwort 2.

Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.

(2) Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ schließen.

Da bei $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ die Spektrallinie bei $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ verschwindet, ist $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$ zu vermuten.
Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:

$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$

(3) Die Gewichte der Diraclinien bei $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$ lauten allgemein:

$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}.$$

(4) Mit der Forderung $K < 1\%$ gilt folgende Faustformel (Carson–Regel):

$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung.

(5) Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:

$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$

Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.

(6) Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (4) zu

$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm kHz}.$$

Aufgrund des nur halb so großen Modulationsindex' genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf $1\%$, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ... , $D_3$ zu übertragen.