Exercise 3.11: Viterbi Receiver and Trellis Diagram

Trellisdiagramm für einen Vorläufer

Der Viterbi–Empfänger erlaubt eine aufwandsgünstige Realisierung der Maximum–Likelihood–Entscheidungsregel. Er beinhaltet die im Folgenden aufgeführten Systemkomponenten:

ein an den Sendegrundimpuls angepasstes Matched–Filter mit Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ und Ausgangssignal $m(t)$,
einen Abtaster im Abstand der Symboldauer (Bitdauer) $T$, der das zeitkontinuierliche Signal $m(t)$ in die zeitdiskrete Folge $〈m_{\rm \nu}〉$ wandelt,
ein Dekorrelationsfilter mit Frequenzgang $H_{\rm DF}(f)$ zur Entfernung statistischer Bindungen zwischen den Störanteilen der Folge $〈d_{\rm \nu}〉$,
den Viterbi–Entscheider, der mit einem trellisbasierten Algorithmus die Sinkensymbolfolge $〈v_{\rm \nu}〉$ gewinnt.

Die Grafik zeigt das vereinfachte Trellisdiagramm der beiden Zustände "$0$" und "$1$" für die Zeitpunkte $\nu ≤ 5$. Dieses Diagramm erhält man als Ergebnis der Auswertung der beiden minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(0)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(1)$ entsprechend der Aufgabe 3.11Z.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Viterbi–Empfänger.
Bezug genommen wird auch auf den Abschnitt MAP– und Maximum–Likelihood–Entscheidungsregel.

Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
Die Thematik wird auch im interaktiven Applet Eigenschaften des Viterbi–Empfängers behandelt.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

Das Signal $m(t)$ nach dem Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ weist das größtmögliche Signal–zu–Störleistungsverhältnis auf.
Die Störanteile der Folge $〈m_{\rm \nu}〉$ sind aber aufgrund der spektralen Formung (stark) korreliert.
Aufgabe des zeitdiskreten Dekorrelationsfilters mit dem Frequenzgang $H_{\rm DF}(f)$ ist es, diese Bindungen aufzulösen, weshalb für $H_{\rm DF}(f)$ auch der Name "Whitening–Filter" verwendet wird.
Dies ist allerdings nur auf Kosten einer erhöhten Störleistung möglich ⇒ der letzte Lösungsvorschlag trifft demnach nicht zu.

(2) Die beiden bei $\underline {\nu = 1}$ ankommenden Pfeile sind jeweils blau gezeichnet und kennzeichnen das Symbol $a_1 = 0$. Somit ist bereits zu diesem Zeitpunkt das Ausgangssymbol $a_1$ festgelegt. Ebenso stehen die Symbole $a_3 = 1$ und $a_5 = 0$ bereits zu den Zeitpunkten $\underline {\nu = 3}$ bzw. $\underline {\nu = 5}$ fest.

Dagegen ist zum Zeitpunkt $\nu = 2$ eine Entscheidung bezüglich des Symbols $a_2$ nicht möglich.

Unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = 0$ sein wird, würde sich Symbol $a_2 = 1$ ergeben (bei "$0$" kommt ein roter Pfad an, also von "$1$" kommend).
Dagegen führt die Hypothese $a_3 = 1$ zum Ergebnis $a_2 = 0$ (der bei "$1$" ankommende Pfad ist blau).

Ähnlich verhält es sich zum Zeitpunkt $\nu = 4$.

(3) Aus den durchgehenden Pfaden bei $\nu = 5$ ist ersichtlich:

$$a_{1}\hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a_{2}\hspace{0.15cm}\underline { =0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a_{3}\hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a_{4}\hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a_{5}\hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Richtig ist nur die zweite Aussage:

Da die Quellensymbole "$0$" und "$1$" als gleichwahrscheinlich vorausgesetzt wurden, ist der ML–Empfänger (Viterbi) identisch mit dem MAP–Empfänger.
Ein Schwellenwertentscheider (der zu jedem Takt eine symbolweise Entscheidung trifft) hat nur dann die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie der Viterbi–Empfänger, wenn es keine Impulsinterferenzen gibt.
Dies ist hier offensichtlich nicht der Fall, sonst müsste zu jedem Zeitpunkt $\nu$ eine endgültige Entscheidung getroffen werden können.
Die erste Aussage trifft ebenfalls nicht zu. Das würde nämlich bedeuten, dass der Viterbi–Empfänger bei Vorhandensein von statistischem Rauschen die Fehlerwahrscheinlichkeit $0$ haben kann. Dies ist aus informationstheoretischen Gründen nicht möglich.

	$\nu = 1,$
	$\nu = 2,$
	$\nu = 3,$
	$\nu = 4,$
	$\nu = 5.$

	Das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ dient vorwiegend der Störleistungsbegrenzung.
	Das Dekorrelationsfilter entfernt Bindungen zwischen den Abtastwerten.
	Die Störleistung wird nur von $H_{\rm MF}(f)$, nicht von $H_{\rm DF}(f)$ beeinflusst.

	Es ist sicher, dass die erkannte Folge auch gesendet wurde.
	Ein MAP–Empfänger hätte die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit.
	Schwellenwertentscheidung ist gleich gut wie dieser Maximum–Likelihood–Empfänger.