Exercise 4.13: Four-level QAM

Signal space constellation of the 4–QAM

We now consider a quadrature amplitude modulation with $M = 4$ symbols and the (normalized) signal space points

$$\boldsymbol{ s}_{\rm A} = (+1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm B} = (-1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s}_{\rm C} = (-1, -1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm D} = (+1, -1) \hspace{0.05cm}.$$

The symbols are equally probable. Thus, averaging can be omitted to calculate the mean symbol error probability.

For example:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm decided} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm sent}) \hspace{0.05cm}.$$

The assignment of the symbols to bit-duples can also be taken from the graphic (red labels). Gray coding is assumed here.

Notes:

The exercise belongs to the chapter "Carrier Frequency Systems with Coherent Demodulation".
Reference is made in particular to the section "Quadrature amplitude modulation" (QAM).
For subtask (4), the (discrete-time) AWGN channel with variance $\sigma_n^2 = N_0/2$ is assumed.
For the probability that a symbol is falsified horizontally or vertically by the noise signal $n$, with the complementary Gaussian error function $\rm Q(x)$ holds:

$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n) \hspace{0.05cm}.$$

Questions

$p_{\rm UB}\ = \ $

$p_{\rm S}\ = \ $

$p_{\rm B}\ = \ $

	$p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
	$p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {2E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
	$p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/(2N_0)}\big ]$.

Solution

(1) The "Union Bound" is an upper bound for the mean symbol error probability. For the latter holds:

$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( {\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm sent})= {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm decided} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm sent}) \hspace{0.05cm}.$$

In contrast, for the (improved) "Union Bound" in the present example:

$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm decided} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm sent}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm decided} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm sent}) = 2p = \underline{0.2} \hspace{0.05cm}.$$

(2) The two probabilities that make up the "Union Bound" additive can be interpreted geometrically as follows:

${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} | \boldsymbol{s}_{\rm A})$ iis the probability that the receiving point is located in the left half-plane
⇒ the AWGN noise component $n_1$ is negative and greater in magnitude than $\sqrt {E}$.
${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{s}_{\rm D} | \boldsymbol{s}_{\rm A})$ is the probability that the receiving point lies in the lower half-plane
⇒ the AWGN noise component $n_2$ is negative and greater in magnitude than $\sqrt {E}$.

Thus, the "Union Bound" considers the third quadrant twice. It is relatively easy to compensate for this error here:

$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm UB} - {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm decided} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm sent}) = 2 p - {\rm Pr}\left [ ( n_1 < -\sqrt{E})\cap ( n_2 < -\sqrt{E})\right ] = 2p - p^2 = \underline{0.19} \hspace{0.05cm}.$$

Here it is considered that the noise components $n_1$ and $n_2$ are independent of each other.

(3) Wie in der Teilaufgabe (2) nachgewiesen wurde, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:

Quadrant 2: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \ {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,
Quadrant 3: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,
Quadrant 4: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm D} \ {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$.

Für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhält man somit:

$$p_{\rm B} = { 1}/{ 2} \cdot \big [ 1 \cdot 0.09 + 2 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.09\big ]= \underline{0.1} = p \hspace{0.05cm}.$$

Berücksichtigt ist, dass der Quadrant 2 und der Quadrant 4 jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien.
Der Faktor $1/2$ berücksichtigt wieder, dass jeweils ein Symbol zwei Binärzeichen (Bit) beinhaltet.

(4) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zur Teilaufgabe (2) gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:

$$p_{\rm B} = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E}) \hspace{0.05cm}.$$

Beim AWGN–Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden. Daraus ergibt sich $E_{\rm S} = 2E$.
Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag.
Zum gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man die 4–QAM wie im Kapitel Struktur des optimalen Empfängers des Buches "Modulationsverfahren" als zwei orthogonale (das heißt: sich nicht störende) BPSK–Systeme über den gleichen Kanal betrachtet.