Exercise 5.3Z: Analysis of the BSC Model

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Gegebene Fehlerfolge

Wir betrachten zwei unterschiedliche BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:

• Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$,
• Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$.

Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge  $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.

Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand

• der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten

$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$

• der Fehlerabstandsverteilung

$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$$

• der Fehlerkorrelationsfunktion

$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] \ \ = \ \ \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Binary Symmetric Channel (BSC).
• Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge  $N = 1000$  genau  $22$  Einsen enthält.

Fragebogen

1

Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  des BSC–Modells zurückgeschlossen werden?

	FKF–Wert  $\varphi_e(k = 0)$,
	FKF–Wert  $\varphi_e(k = 10)$,
	FAV–Wert  $V_a(k = 1)$,
	FAV–Wert  $V_a(k = 2)$,
	FAV–Wert  $V_a(k = 10)$.

2

Von welchem Modell stammt die angegebene Fehlerfolge?

	Modell $M_1$,
	Modell $M_2$.

3

Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell  $M_1$?

${\rm E}\big[a\big] \ = \ $

4

Wie groß sind für das Modell  $M_1$  die folgenden Wahrscheinlichkeiten?

${\rm Pr}(a = 1) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 2) \ = \ $

${\rm Pr}(a = {\rm E}\big[a\big]) \ = \ $

5

Berechnen Sie für das Modell  $M_1$  folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung:

$V_a(k = 2) \ = \ $

$V_a(k = 10) \ = \ $

$V_a(k = 11) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Beim BSC–Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$.

• Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten

$$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array} \hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$

• $p$  lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV–Wert ist unabhängig von  $p$  gleich  $(1–p)^0 = 1$.
• Zutreffend sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5.

(2)  Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$.

• Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$  ⇒  $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde.
• Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise  ⇒  Vorschlag 2.

(3)  Der mittlere Fehlerabstand – also der Erwartungswert der Zufallsgröße  $a$ – ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit ⇒ ${\rm E}\big[a\big] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$.

(4)  Entsprechend der Gleichung  ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$  erhält man:

$${\rm Pr}(a = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(a = 10)= 0.9^9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Aus der Beziehung  $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$  erhält man

$$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = 1) - V_a(k = 2) = 0.1\hspace{0.05cm},$$

$$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 \hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}.$$

Zur Kontrolle im Vergleich zur Teilaufgabe (4):

$${\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k = 11) = 0.3874 - 0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$