Exercise 2.16: Bounded Distance Decoding: Decision Regions

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Betrachtete Codierraumschemata

Wir gehen von einem Blockcode der Länge  $n$  mit Symbolen  $c_i ∈ {\rm GF}(2^m)$  aus, der bis zu  $t$  Symbole korrigieren kann. Jedes mögliche Empfangswort  $\underline{y}_i$  kann dann als ein Punkt in einem hochdimensionalen Raum angesehen werden. Geht man von der Basis  ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$  aus, so beträgt die Dimension  $n \cdot m$.

Die Grafik zeigt einen solchen Raum in vereinfachender, schematischer 2D–Darstellung.

Die Abbildung ist wie folgt zu interpretieren:

• Gesendet wurde der rote Punkt  $\underline{c}_j$. Alle rot umrandeten Punkte  $\underline{y}_i$  in einer Hyperkugel um diesen Punkt  $\underline{c}_j$  mit dem Parameter  $t$  als Radius können korrigiert werden. Mit der Nomenklatur gemäß der  Grafik  im Theorieteil gilt dann  $\underline{z}_i = \underline{c}_j$  
  ⇒   "Die Fehlerkorrektur ist erfolgreich".

• Bei sehr vielen Symbolfehlern kann  $\underline{c}_j$  in einen blauen (oder weißblauen) Punkt  $\underline{y}_j$  verfälscht werden, der zur Hyperkugel eines anderen Codewortes  $\underline{c}_{k ≠ j}$  gehört. In diesem Fall trifft der Decoder eine falsche Entscheidung  
  ⇒   "Das Empfangswort  $\underline{y}_j$  wird falsch decodiert".

• Schließlich kann es wie in der unteren Skizze auch noch gelbe Punkte geben, die zu keiner Hyperkugel gehören  
  ⇒   "Das Empfangswort  $\underline{y}_j$  ist nicht decodierbar".

In dieser Aufgabe sollen Sie entscheiden, welches der beiden Coderaumschemata geeignet ist zur Beschreibung von

• Bounded Distance Decoding  (BDD) von Hamming–Codes bzw.
• Bounded Distance Decoding  (BDD) von Reed–Solomon–Codes.

Hinweise:

• Die Aufgabe ergänzt die Thematik des Kapitels  Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete.
• Sie soll signifikante Unterschiede bei der Decodierung von Reed–Solomon–Codes und Hamming–Codes verdeutlichen.

Fragebogen

1

Welches Codierraumschema trifft für die Hamming–Codes zu?

	Codierraumschema  $\rm A$,
	Codierraumschema  $\rm B$.

2

Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass bei Hamming–Codierung ein Empfangswort  $\underline{y}$  nicht decodiert werden kann?

	Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$  ist exakt Null.
	${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$  ist ungleich Null, aber vernachlässigbar.
	Es gilt  ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \ ist \ nicht \ decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \ wird \ falsch \ decodiert)$.

3

Welches Codierraumschema trifft für die Reed–Solomon–Codes zu?

	Codierraumschema  $\rm A$,
	Codierraumschema  $\rm B$.

4

Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Empfangswort  $\underline{y}$  nach Reed–Solomon–Codierung nicht decodiert werden kann?

	Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$  ist exakt Null.
	${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$  ist ungleich Null, aber vernachlässigbar.
	Es gilt  ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \ ist \ nicht \ decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \ wird \ falsch \ decodiert)$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1, da das Codierraumschema  $\rm A$  einen perfekten Code beschreibt und jeder Hamming–Code $(n, \, k, \, 3)$ ein perfekter Code ist:

• Bei einem jeden Hamming–Code $(n, \, k, \, 3)$ gibt es insgesamt $2^n$ mögliche Empfangsworte $\underline{y}_i$, die bei der Syndromdecodierung einem von $2^k$ möglichen Codeworten $\underline{c}_j$ zugeordnet werden.
• Aufgrund der HC–Eigenschaft $d_{\rm min} = 3$ haben alle Kugeln im $n$–dimensionalen Raum den Radius $t = 1$. In allen Kugeln gibt es somit $2^{n-k}$ Punkte, zum Beispiel

• $\text{HC (7, 4, 3)}$:   einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und sieben Punkte für einen Bitfehler   ⇒   $1 + 7 = 8 = 2^3 = 2^{7-4}$.
• $\text{HC (15, 11, 3)}$:   einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und nun 15 Punkte für einen Bitfehler   ⇒   $1 + 15 = 16 = 2^4 = 2^{15-11}$.

Hinweis:  Da der Hamming–Code ein Binärcode ist, hat hier der Coderaum die Dimension  $n$.

(2)  Richtig ist die Antwort 1:

• Im grauen Bereich außerhalb von "Kugeln" gibt es bei einem perfekten Code keinen einzigen Punkt.
• Dies wurde auch in der Rechnung zur Teilaufgabe (1) gezeigt.

(3)  Die Reed–Solomon–Codes werden durch das Codierraumschema  $\rm B$  beschrieben  ⇒  Antwort 2.

• Hier gibt es zahlreiche gelbe Punkte im grauen Bereich, also Punkte die bei Bounded Distance Decoding (BDD) keiner Kugel zugeordnet werden können.
• Betrachten wir beispielweise den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Codeparametern $n = 7, \, k = 3$ und $t = 2$, so gibt es hier insgesamt $8^7 = 2097152$ Punkte und $8^3 = 512$ Hyperkugeln.
• Wäre dieser Code perfekt, so müsste es also innerhalb jeder Kugel $8^4 = 4096$ Punkte geben. Es gilt aber:

$${\rm Pr}(\underline{\it y}_{\it i} {\rm \hspace{0.1cm}liegt\hspace{0.1cm} innerhalb\hspace{0.1cm} der\hspace{0.1cm} roten\hspace{0.1cm} Kugel)} = {\rm Pr}(f \le t) = {\rm Pr}(f = 0)+ {\rm Pr}(f = 1)+{\rm Pr}(f = 2) =1 + {7 \choose 1} \cdot 7 + {7 \choose 2} \cdot 7^2 = 1079 \hspace{0.05cm}.$$

• Für ${\rm Pr}(f = 1)$ ist berücksichtigt, dass es "$7 \rm \ über \ 1$" $= 7$ Fehlerpositionen geben kann, und für jede Fehlerposition auch sieben unterschiedliche Fehlerwerte. Entsprechendes ist auch für ${\rm Pr}(f = 2)$ berücksichtigt.

(4)  Richtig ist die Antwort 3:

• Ein Punkt im grauen Niemandsland wird mit weniger Symbolfehlern erreicht als ein Punkt in einer anderen Hyperkugel.
• Für lange Codes wird in der Literatur eine obere Schranke für die Verfälschungswahrscheinlichkeit angegeben:

$${\rm Pr}(\underline{y}_{i} {\rm \hspace{0.15cm}wird\hspace{0.15cm} falsch\hspace{0.15cm} decodiert)} = {\rm Pr}(\underline{z} \ne \underline{c}) \le \frac{1}{t\hspace{0.05cm}!} \hspace{0.05cm}.$$

• Für den ${\rm RSC} \, (225, \, 223, \, 33)_{256} \ \Rightarrow \ t = 16$ liefert diese obere Schranke den Wert $1/(16!) < 10^{-14}$.