Exercise 4.3Z: Conversions of L-value and S-value

Function $y = \tanh {(x)}$
in tabular form.

We assume a binary random variable $x ∈ \{+1, \, -1\}$ with the following probabilities:

$${\rm Pr}(x =+1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(x =-1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} q = 1-p\hspace{0.05cm}.$$

The "reliability" of the symbol $x$ can be expressed

by the $L$ value (LLR) according to the definition

$$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm},$$

by the so called $S$ value.

$$S(x) = p- q \hspace{0.05cm}.$$

We have created the term "$S$ value" in order to be able to formulate the following questions more succinctly. In the literature, one sometimes finds the term "soft bit" for this.

As will be shown in subtask (1), $L(x)$ and $S(x)$ can be converted into each other.

Subsequently, these functions shall be used to calculate the following quantities, always assuming code length $n = 3$ :

the extrinsic $L$–value for the third symbol ⇒ $L_{\rm E}(x_3)$,
the a posteriori–$L$–value for the third symbol ⇒ $L_{\rm APP}(x_3)$.

The calculation should be done for the following codes:

the repetition Code $\text{"RC (3, 1, 3)"}$ with the constraint $\sign {(x_1)} = \sign {(x_2)} = \sign {(x_3)}$,
the single parity–code ⇒ $\text{"SPC (3, 2, 2)"}$ with the constraint $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = +1$.

Hints:

This exercise belongs to the chapter "Soft–in Soft–out Decoder".
Reference is made in particular to the page "Reliability Information – Log Likelihood Ratio".
To solve, you need the hyperbolic tangent according to the following definition (this function is given above in tabular form):

$$y = {\rm tanh}(x) = \frac{{\rm e}^{+x/2} - {\rm e}^{-x/2}}{{\rm e}^{+x/2} + {\rm e}^{-x/2}} = \frac{1 - {\rm e}^{-x}}{1 + {\rm e}^{-x}} \hspace{0.05cm}.$$

Questions

	$S(x) = \tanh {(L(x))}$,
	$S(x) = \tanh {(L(x)/2)}$,
	$L(x) = 2 \cdot \tanh^{-1}{(S(x))}$.

$L_{\rm E}(x_3) \ = \ $

$L_{\rm APP}(x_3) \ = \ $

$L_{\rm E}(x_3) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Für die binäre Zufallsgröße $x ∈ \{+1, -1\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten

$p = {\rm Pr}(x = +1)$, und
$p = {\rm Pr}(x=-1) = 1-p$

gelten folgende Definitionen:

$$L(x) = {\rm ln} \hspace{0.2cm} \frac{p}{q} = \frac{p}{1 - p}\hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} -\infty \le L(x) \le +\infty \hspace{0.05cm},$$

$$S(x) = p- q = 2 \cdot p - 1\hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} -1 \le S(x) \le +1 \hspace{0.05cm}.$$

Ausgehend vom $S$–Wert erhält man wegen $p + q = 1$:

$$S(x) = p- q = \frac{p- q}{p+ q} = \frac{1- q/p}{1+ q/p} \hspace{0.05cm}.$$

Gleichzeitig gilt $q/p = {\rm e}^{-L(x)}$. Daraus folgt:

$$S(x) = \frac{1- {\rm e}^{-L(x)}}{1+ {\rm e}^{-L(x)}} \hspace{0.05cm}.$$

Multipliziert man Zähler und Nenner mit ${\rm e}^{-L(x)/2}$, so erhält man schließlich:

Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit, $L$–Wert, $S$–Wert

$$S(x) = \frac{{\rm e}^{+L(x)/2}- {\rm e}^{-L(x)/2}}{{\rm e}^{+L(x)/2}+ {\rm e}^{-L(x)/2}} = {\rm tanh}\big [L(x)/2. \big] \hspace{0.05cm}.$$

Die Umkehrfunktion ergibt

$$L(x) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1}[S(x)] \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3. Die Tabelle zeigt den $L$–Wert $S$–Wert für einige Wahrscheinlichkeiten $p = {\rm Pr}(x=+1)$.

(2) Der extrinsische $L$–Wert für das Symbol $x_3$ berücksichtigt nur die Apriori–$L$–Werte $L_{\rm A}(x_1)$ und $L_{\rm A}(x_2)$, nicht jedoch $L_{\rm A}(x_3)$.

Beim (3, 1) Repetition Code ergibt sich hierfür:

$$L_{\rm E}(x_3) = L_{\rm A}(x_1) + L_{\rm A}(x_2) = 2 + (-1) \hspace{0.15cm} \underline{= +1}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Für den Aposteriori–$L$–Wert erhält man somit:

$$L_{\rm APP}(x_3) = L_{\rm A}(x_3) + L_{\rm E}(x_3) = 3 + 1 \hspace{0.15cm} \underline{= +4}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Beim Single Parity–check Code lautet die entsprechende Berechnungsvorschrift:

$$L_{\rm E}(x_3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ {\rm tanh}(x_1/2) \cdot {\rm tanh}(x_2/2) \right ] = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ {\rm tanh}(+1) \cdot {\rm tanh}(-0.5) \right ] = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ 0.7616 \cdot (-0.4621) \right ] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}L_{\rm E}(x_3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ -0.3519 \right ] =-2 \cdot 0.3676\hspace{0.15cm} \underline{= -0.7352}\hspace{0.05cm}.$$

Das Ergebnis ${\rm tanh}^{-1} (-0.3519) = 0.3676$ wurde der Tabelle auf der Angabenseite entnommen.

(5) Beim Wiederholungscode der Länge $n = 3$ gilt wie in der Teilaufgabe (3):

$$L_{\rm E}(x_3) = L_{\rm A}(x_1) + L_{\rm A}(x_2) = -0.847 +1.382 \hspace{0.15cm} \underline{= +0.535}\hspace{0.05cm}.$$

Benutzt wurden hierbei die $L$–Werte entsprechend der Tabelle zur Teilaufgabe (1), zum Beispiel ${\rm Pr}(x_1 = +1) = 0.3$ ⇒ $L_{\rm A}(x_1) = -0.847$.

(6) Nachdem hier anstelle der Apriori–$L$–Werte die Apriori–Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, kommt man gegenüber der Teilaufgabe (4) auf dem Umweg über den extrinsischen $S$–Wert schneller zum Erfolg.

Die extrinsische Wahrscheinlichkeit für das dritte Symbol bezeichnen wir hier mit $P_{\rm E}(x_3)$. Für diese gilt:

$$P_{\rm E}(x_3 = +1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} P_{\rm A}(x_1 = +1) \cdot P_{\rm A}(x_2 = -1) + P_{\rm A}(x_1 = -1) \cdot P_{\rm A}(x_2 = +1) = 0.3 \cdot (1-0.8) + (1-0.3) \cdot 0.8 = 0.62\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergeben sich für die weiteren Größen:

$$S_{\rm E}(x_3) = P_{\rm E}(x_3 = +1) - P_{\rm E}(x_3 = - 1) = 0.62 -0.38 = 0.24\hspace{0.05cm},$$

$$L_{\rm E}(x_3) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} \left [ S_{\rm E}(x_3) \right ] = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm} (0.24) = 2 \cdot 0.245 \hspace{0.15cm} \underline{= +0.49}\hspace{0.05cm}$$