Theorem von Wiener-Chintchine
Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse. Wie im Kapitel 4.4 gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:
- Jede einzelne Musterfunktion $x_i(t)$ ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess { $x_i(t)$}. Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
- Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz $τ = t_2 – t_1$ ab:
$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$
Diese Funktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses { $x_i(t)$} im Zeitbereich. Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die spektrale Leistungsdichte, häufig auch als Leistungsdichtespektrum (LDS) bezeichnet.
Das Leistungsdichtespektrum (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses { $x_i(t)$} ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF): $${\Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\pi} f \tau} {\rm d} \tau. $$ Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von Wiener und Chintchine.
Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Kapitel 3.1 des Buches „Signaldarstellung”):
$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} \Phi_x(f) \cdot {\rm e}^{{\rm j\pi} f \tau} {\rm d} f.$$
Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet. Andernfalls muss man nach den Angaben auf Seite 4 dieses Abschnitts vorgehen: Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente.
