Prinzip der Additionsmethode (Lernvideo)
!!! The learning video is in German language (images and sound). There is an English summary at the end of this file !!!
Inhalt
Zur Erzeugung einer gaußverteilten Zufallsgröße kann man die Tatsache nutzen, dass sich eine solche Gaußverteilung zum Beispiel dann ergibt, wenn man eine Gleichverteilung (Rechteck-WDF) unendlich oft mit sich selbst faltet. Das Lernvideo (Dauer 3:42) verdeutlicht das Prinzip:
- Die Summe $s = x_1 + x_2$ besitzt eine dreieckförmige WDF $f_s(s)$ zwischen $\pm 1$, wenn die zwei unabhängigen Komponenten $x_1$ und $x_2$ jeweils zwischen $\pm 0.5$ gleichverteilt sind. Dies ist die erste einfache Approximation der Gaußverteilung basierend auf der Faltung für den Prarneter $I = 2$.
- Addiert man nun nicht nur zwei, sondern $I$ solche statistisch unabhängige Komponenten, so wird die Approximation immer besser, je größer $I$ ist. Man erkauft sich die bessere Approximationsqualität mit steigendem $I$ allerdings auch mit einem größeren Rechenaufwand.
- Erforderlich ist dabei stets eine Varianzanpassung, das heißt je größer $I$ ist, desto schmäler muss die rechteckförmige WDF $f_x(x)$ der als identisch angenommenen Eingangsgrößen $x_i$ mit $i = 1$, ... ,$I$ sein, wenn $\sigma_s$ vorgegeben ist.
- Mit der hier beschriebenen Additionsmethode lässt sich der innere Bereich der Gaußschen Glockenkurve sehr gut nachbilden. Dagegen werden die Ausläufer der Gaußkurve unzureichend nachgebildet, außer, man wählt $I$ extrem groß.
Dieses Lernvideo wurde 2003 am "Lehrstuhl für Nachrichtentechnik" der "Technischen Universität München" konzipiert und realisiert.
Buch und Regie: » Günter Söder «, Sprecher: » Klaus Eichin «, Realisierung: » Winfried Kretzinger «.
Im Zuge der LNTwww-Neugestaltung (Version 3) wurden diese Lernvideos 2016/2017 von »Tasnád Kernetzky« und einigen Studenten in moderne Formate konvertiert, um von möglichst vielen Browsern (wie Firefox, Chrome, Safari) als auch von Smartphones wiedergegeben werden zu können.
English summary:
Principle of the additional method
Contents
To generate a Gaussian distributed random variable, one can use the fact that such a Gaussian distribution results, for example, if one folds a uniform distribution (rectangular WDF) infinitely often with itself. The tutorial video (duration 3:42) illustrates the principle:
- The sum $s = x_1 + x_2$ has a triangular PDF $f_s(s)$ between $\pm 1$ if the two independent components $x_1$ and $x_2$ are each equally distributed between $\pm 0.5$. This is the first simple approximation of the Gaussian distribution based on the convolution for the prarneter $I = 2$.
- If one adds now not only two, but $I$ such statistically independent components, then the approximation becomes better and better, the larger $I$ is. However, one buys the better approximation quality with increasing $I$ also with a larger computation expenditure.
- A variance adjustment is always required, i.e. the larger $I$ is, the smaller must be the rectangular PDF $f_x(x)$ of the input variables $x_i$ assumed as identical with $i = 1$, ... ,$I$ if $\sigma_s$ is given.
- With the addition method described here, the inner region of the Gaussian bell curve can be reproduced very well. On the other hand, the foothills of the Gaussian curve are inadequately reproduced, unless $I$ is chosen to be extremely large.
This educational video was conceived and realized in 2003 at the "Chair of Communications Engineering" of the "Technical University of Munich".
