Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei PM
Zur Untersuchung des Rauschverhaltens gehen wir wieder vom so genannten AWGN–Kanal aus und berechnen das Sinken–SNR $ρ_υ$ in Abhängigkeit
- der Frequenz (Bandbreite) $B_{\rm NF}$ des cosinusförmigen Quellensignals,
- der Sendeleistung $P_{\rm S}$,
- des Kanaldämpfungsfaktors $α_{\rm K}$, und
- der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$.
Eine ausführliche Modellbeschreibung findet man im Kapitel 1.2.
Ist die Leistungskenngröße
$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}$$
Das bedeutet, dass das Sinken–SNR mit wachsendem $η$ quadratisch zunimmt.
Die exakte Berechnung von $ρ_υ$ ist nicht ganz einfach und auch langwierig. Hier soll nur der Rechenweg kurz geschildert werden:
- Man approximiert das weiße Rauschen $n(t)$ mit der Bandbreite $B_{\rm HF}$ durch eine Summe von Sinusstörern im Abstand $f_{\rm St}$ (siehe Skizze im nächsten Abschnitt).
- Man berechnet für jeden einzelnen Sinusstörer das S/N–Verhältnis nach der Demodulation und addiert die einzelnen Beiträge, die nun alle im Tiefpassbereich $|f| < B_{\rm NF}$ liegen.
- Das obige einfache Ergebnis erhält man nach dem Grenzübergang $f_{\rm St} →$ 0. Die Summe geht dann in ein Integral über und dieses kann unter Ausnutzung einiger Näherungen gelöst werden.
Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei FM
Zur Berechnung nutzt man hier die Tatsache, dass der FM–Demodulator mit einem PM–Demodulator und einem Differenzierer realisiert werden kann. Das nachfolgende Blockschaltbild bezieht sich allein auf die Rauschsignale ⇒ $s(t) =$ 0. Damit ist das Empfangssignal $r(t)$ gleich $n(t)$, wobei für $n(t)$ additives weißes Gaußsches Rauschen mit der Mittenfrequenz $f_{\rm T}$ und der Bandbreite $B_{\rm HF}$ anzusetzen ist.
Bei der Berechnung der Rauschleistungsdichte nach dem FM–Demodulator ist zu berücksichtigen:
- Die Rauschleistungsdichte ${\it Φ}_{\rm υ, PM}(f)$ nach dem PM–Demodulator liegt im Tiefpassbereich, besitzt die (einseitige) Bandbreite $B_{\rm NF}$ und ist ebenfalls „weiß” (siehe linke untere Skizze).
- Die Leistungsdichte am Ausgang eines linearen Systems mit Frequenzgang $H(f)$ lautet allgemein, wenn am Eingang die Rauschleistungsdichte ${\it Φ}_{\rm υ, PM}(f)$ anliegt:
$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.05cm}FM} } (f) = { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.05cm}PM} } (f) \cdot |H(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$
- Der Differenzierer ist ein solches lineares System. Sein Frequenzgang $H(f)$ steigt linear mit $f$ an, und es gilt für die Rauschleistungsdichte am Ausgang des FM-Demodulators (siehe rechte Skizze):
$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.05cm}FM} } (f) = {\rm const. } \cdot f^2 \cdot { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.05cm}PM} }(f) \hspace{0.05cm}.$$
- Berücksichtigt man dieses Ergebnis, so kommt man nach längerer Rechnung zum folgenden Sinken–SNR, falls die Leistungskenngröße $ξ$ hinreichend groß ist:
$$\rho_{v } \approx \frac{3\eta^2}{2} \cdot \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}} = 3/2 \cdot{\eta^2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik verdeutlicht, dass ${\it Φ}_{\rm υ, FM}(f)$ im Gegensatz zu ${\it Φ}_{\rm υ, PM}(f)$ nicht weiß ist, sondern zu den Grenzen hin quadratisch ansteigt. Bei der Frequenz $f =$ 0 besitzt ${\it Φ}_{\rm υ, FM}(f)$ dagegen keine Rauschanteile.
Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen
Wie schon in Kapitel 1.2 ausführlich erläutert und in Kapitel 2.2 angewandt, betrachten wir wieder die doppelt-logarithmische Darstellung des Sinken–SNR $ρ_υ$ über der Kenngröße $ξ = α_{\rm K}^2 · P_{\rm S}/(N_0 · B_{\rm NF})$.
Diese qualitativ zu verstehenden Kurven sind wie folgt zu interpretieren:
- Die Vergleichskurve liefert die ZSB–AM ohne Träger, das heißt mit Modulationsgrad $m → ∞$. Hier gilt $ρ_υ = ξ$ und auch bei doppelt–logarithmischer Darstellung ergibt sich eine 45°–Gerade durch den Ursprung. Siehe auch Kapitel 2.2.
- Die FM–Kurve mit $η =$ 3 liegt um 10 · lg 13.5 ≈ 11.3 dB oberhalb der AM–Kurve. Anschaulich kann man das bessere Rauschverhalten der FM dadurch erklären, dass ein additiver Rauschanteil die Lage der Nulldurchgänge weniger beeinflusst als er die Amplitudenwerte verändert.
- Ist das wirksame Rauschen sehr groß und damit die Leistungskenngröße klein (10 · lg $ξ$ ≤ 15 dB), so ist Winkelmodulation nicht zu empfehlen. Aufgrund des Rauschens können Nulldurchgänge völlig verschwinden und so deren Detektion unmöglich machen. Man spricht vom FM–Knick.
- Hinsichtlich Rauschen ist ein möglichst großer Modulationsindex anzustreben. So liegt die Kurve für $η =$ 10 um etwa 10.4 dB über der Kurve für $η =$ 3. Zu berücksichtigen ist allerdings, dass ein größeres $η$ auch eine größere Bandbreite erfordert oder – bei gegebener Kanalbandbreite – stärkere nichtlineare Verzerrungen hervorruft.
- Bei gleichem Modulationsindex ist die Phasenmodulation stets um 10 lg 3 ≈ 4.8 dB schlechter als die Frequenzmodulation. Dies ist einer der Gründe, warum die analoge Phasenmodulation in der Praxis nur wenig Bedeutung hat. Dagegen wird bei digitaler Modulation die Variante Phase Shift Keying (PSK) aufgrund anderer Vorteile häufiger eingesetzt als Frequency Shift Keying (FSK).
- Alle angegebenen Kurven gelten quantitativ nur für eine harmonische Schwingung (eine Frequenz). Bei einem Frequenzgemisch – das in der Praxis stets vorliegt – gelten die Kurven nur qualitativ.
