OFDM mittels diskreter Fouriertransformation
Betrachten wir nun erneut die sich zeitlich nicht überlappenden Sendesignalrahmen $$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R}} )},$$ wobei $k$ die Rahmennummer angibt. Diese besitzen zu den Abtastzeiten $k · T_{\rm R} + ν · T_{\rm A}$ mit $0 ≤ ν < N$ und $T_{\rm A} = T/N$ die Abtastwerte $$s_{\nu ,k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,k} \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi}} {\kern 1pt}\cdot \hspace{0.03cm}\nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}{\mu}/{N}} }.$$ Mit der Umbenennung $s_{ν,k} = d_{ν,k}$ und $a_{\mu,k} = D_{\mu,k}$ entspricht diese Gleichung exakt der Inversen Diskreten Fouriertransformation – abgekürzt IDFT – im jeweils $k$–ten Intervall: $$\quad d_{\nu ,k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu ,k} \cdot w^{ - \nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \mu } } \quad {\rm{mit}} \quad w = {\rm{e}}^{ - {\rm{j}} {\rm{\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi}}/N}.$$ Hierbei sind $d_{ν,k}$ die Zeitabtastwerte und $D_{ν,k}$ die diskreten Spektralkoeffizienten. Die Gleichung für den Übergang von der diskreten Zeit– zur diskreten Spektralfunktion – also die DFT – lautet: $$\quad D_{\mu ,k} = \frac{1}{N}\cdot \sum\limits_{\nu = 0}^{N - 1} {d_{\nu ,k} \cdot w^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\mu } }.$$
Weiterhin gilt:
- Die Koeffizienten $d_{ν,k}$ und $D_{μ,k}$ sind mit der Stützstellenanzahl $N$ periodisch. Zudem sind sie im Allgemeinen komplexwertig.
- DFT und IDFT sind prinzipiell gleich aufgebaut und unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen im Exponenten des komplexen Drehfaktors $w$ sowie den Normierungsfaktor $1/N$ bei der DFT.
Hinweis: Das Flash–Modul Diskrete Fouriertransformation verdeutlicht die Eigenschaften der DFT.
Mit Hilfe der Schnellen Fouriertransformation (Fast Fourier Transform, FFT) ergibt sich die Möglichkeit einer sehr effizienten Realisierung des Mehrträgersystems.
Anmerkung: Für die Verwendung von FFT/IFFT muss die Anzahl der Stützstellen (bzw. Abtastwerte) im Zeit– und Frequenzbereich jeweils eine Zweierpotenz sein. Unter dieser Voraussetzung ist mit den verschiedenen bekannten Algorithmen zur Umsetzung der FFT eine Berechnung mit der Komplexität ${\rm O}(N · {\rm ld}(N))$ möglich.
OFDM–Sender
Die Grafik zeigt das Blockschaltbild eines OFDM–Senders mittels IDFT. Der Index $k$ kennzeichnet wieder den Zeitrahmen. Man erkennt aus dieser Darstellung:
- Im Eingangspuffer wird das Quellensignal $q(t)$ implizit seriell/parallel (S/P) gewandelt und danach eine Signalraumzuordnung auf die $N$ Spektralkoeffizienten $D_{\mu,k}$ vorgenommen.
- Bei einem 4–QAM–Mapping ergeben jeweils zwei Quellensymbole zusammen einen komplexen Koeffizienten $D_{\mu,k}$, der vier verschiedene Werte annehmen kann.
- Die so erzeugten Spektralkoeffizienten $D_{\mu,k}$ werden anschließend dem IDFT–Block zugeführt, der daraus die Zeitbereichswerte $d_{ν,k}$ generiert.
- Diese werden wieder parallel/seriell gewandelt. Nach der darauf folgenden D/A–Wandlung und einer Tiefpassfilterung erhält man schließlich das Sendesignal $s(t)$ im äquivalenten Tiefpassbereich.
Fazit: Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) ersetzt beim OFDM–Sender die sehr aufwändige parallele Modulation der $N$ orthogonalen Träger. Durch die Realisierung als IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) ergibt sich eine weitere Aufwandsreduktion.
