Exercise 1.7Z: Overall Systems Analysis

System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie (Aufgabe Z1.7)

Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang $w(t)$ und Ausgang $z(t)$ besteht aus drei Komponenten:

Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort

$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi(t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta t_1= {0.3\,\rm ms}.$$

Danach folgt eine Nichtlinearität mit Kennlinie

$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} {8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t) \\ {-8\,\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge {4\,\rm V}}, \\ {{-4\,\rm V} < x(t) < {4\,\rm V}}, \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}. \\ \end{array}$$

Deren Eingangssignal $x(t)$ wird um den Faktor 2 verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich ±8V begrenzt.

Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:

$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$

Das Eingangssignal $w(t)$ sei ein Gaußimpuls mit konstanter Amplitude 5 V, aber variabler Breite $T$: $$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$ Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzband $$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$ vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Abschnitt Gaußtiefpass im Kapitel 1.3.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

a) Die erste Aussage ist zutreffend: Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden. Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen. Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als 4 V ist.

Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend. Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht. Richtig sind also die $\ \rm \underline{Antworten \ 1 \ und \ 3}$.

b) Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:

$$\begin{align*}X(f) & = W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2}\\ & = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.\end{align*}$$

Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t =$ 0 – gleichzeitig der Maximalwert des Signals – ist gleich der Spektralfläche; dieser soll nicht größer werden als 4 V:

$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$

Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:

$$\begin{align*}\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} & \Rightarrow \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}\\ & \Rightarrow \hspace{0.1cm}\frac{ \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{9}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\frac{T^2}{ \Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.\end{align*}$$

Die Kontrollrechnung ergibt:

$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = \frac{1}{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}\\$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$

c) Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung:

$$\underline{K \ = \ 2}$$

Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:

$$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms}$$ $$\Rightarrow \Delta f_{\rm G} = \frac{1}{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$

	Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen $w(t)$ und $z(t)$.
	$H_3(f)$ muss schmalbandiger sein als $H_1(f)$.
	Das Signal $x(t)$ darf betragsmäßig nicht größer sein als 4 V.