Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie

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A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)

Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von 1 bis 15. Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block). Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit. Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte $$ A = 1, B = 0, C = 1, D = 1. $$ Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen: $$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\bar{ B} \cap C \cap D$$ Aus den binären Größen A, B, C und D werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit X bezeichnet wird:

[math]\displaystyle{ U = A \cap \bar{D} }[/math]

[math]\displaystyle{ V = \bar{A} \cap B \cap \bar{D} }[/math]

$$W, wobei \, \bar{W} = \bar{A} \cup \bar{D} \cup (\bar{B} \cap C) \cup (B \cap \bar{C}). $$ Für die folgenden Fragen ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 ⇒ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden. Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.2. Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Fragebogen zu "A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)"

1 Schätzen Sie die Signalfrequenz von [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] im dargestellen Ausschnitt ab.

	Die Signalfrequenz beträgt etwa [math]\displaystyle{ f }[/math] = 250 Hz.
	Die Signalfrequenz beträgt etwa [math]\displaystyle{ f }[/math] = 500 Hz.
	Die Signalfrequenz beträgt etwa [math]\displaystyle{ f }[/math] = 1 kHz.

2 Welche Aussagen sind für das Signal [math]\displaystyle{ v_1(t) }[/math] zutreffend?

	Das Signal ist gegenüber [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] unverzerrt.
	Das Signal weist Verzerrungen auf.
	Das Signal ist gegenüber [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] verrauscht.

3 Welche Aussagen sind für das Signal [math]\displaystyle{ v_2(t) }[/math] zutreffend?\[Z = 11\qquad\widehat{=}\]

	Das Signal ist gegenüber [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] unverzerrt.
	Das Signal weist Verzerrungen auf.
	Das Signal ist gegenüber [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] verrauscht.

4 Eines der Signale ist gegenüber dem Orginal [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] unverzerrt und nicht verrauscht. Schätzen Sie hierfür den Dämpfungsfaktor und die Laufzeit ab.

[math]\displaystyle{ \alpha = }[/math]

[math]\displaystyle{ \tau = }[/math] ms

Musterlösung zu "A1.1 Musiksignale"

Solution

1. Im markierten Bereich (20 Millisekunden) sind ca 10 Schwingungen zu erkennen. Daraus folgt für die Signalfrequenz näherungsweise

[math]\displaystyle{ f = \frac{10}{20ms} = 500 Hz }[/math] ⇒ Lösungsvorschlag 2.

2. Das Signal [math]\displaystyle{ v_1(t) }[/math] ist gegenüber dem Orginalsignal [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] unverzerrt. Es gilt:

[math]\displaystyle{ v_1(t)=\alpha \cdot q(t-\tau) }[/math]

Eine Dämpfung [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] und eine Laufzeit [math]\displaystyle{ \tau }[/math] führen nicht zu Verzerrungen, sondern das Signal ist leiser und es kommt später als das Original ⇒ Lösungsvorschlag 1.

3. Man erkennt sowohl im dargestellten Signalverlauf als auch im Audiosignal das additive Rauschen ⇒ Lösungsvorschläge 1 und 3. Der Signalrauschabstand beträgt dabei ca. 30 dB; dies ist aber aus dieser Darstellung nicht erkennbar.

4. Das Signal [math]\displaystyle{ v_1(t) }[/math] ist formgleich mit dem Originalsignal [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] und unterscheidet sich von diesem lediglich durch den Amplitudenfaktor [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]=0.3 (entspricht etwa –10 dB) und die Laufzeit [math]\displaystyle{ \tau }[/math]=10 ms.