Exercise 1.7: Ternary Markov Chain

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Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A, B, C$. Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen. Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:

$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0 $ .

Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt $ν = 0$ sind wie folgt gegeben:

$Pr(A_0) = 0,$

$Pr(B_0) = 1,$

$Pr(C_0) = 0.$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Abschnitt Matrix-Vektordarstellung im Kapitel 1.4

Fragebogen

1

Geben Sie die Übergangsmatrix P und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.

$P_\text{AA}$ =

$P_\text{BB}$ =

$P_\text{CC}$ =

2

Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν = 1$.

$Pr(A_1)$ =

3

Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν = 2$.

$Pr(A_2)$ =

4

Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? Wie groß ist insbesondere $Pr(A)$?

$Pr(A)$ =

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.