Exercise 1.2Z: Sets of Digits

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Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen 1 und 9. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen $$A = [die\ Ziffern\ \leqslant 3],$$ $$B = [die\ durch\ 3\ teilbaren\ Ziffern],$$ $$C = [die\ Ziffern\ 5,\ 6,\ 7,\ 8],$$

Daneben seien noch weitere Mengen definiert: $$D = (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B),$$ $$E = (A \cup B) \cap (\bar A \cup \bar B),$$ $$F = (A \cup C) \cap \bar B,$$ $$G = (\bar A \cap \bar C) \cup (A \cap B \cap C).$$ Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen $D$, $E$, $F$ und $H$ gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen. Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.2. Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?

	$A$ und $B$ sind disjunkte Mengen.
	$A$ und $C$ sind disjunkte Mengen.
	$B$ und $C$ sind disjunkte Mengen.

2

Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?

	Die Vereinigungsmenge $A \cup B \cup C$ ergibt die Grundmenge.
	Die Komplementärmenge zu $A \cap B \cap C$ ergibt die Grundmenge.

3

Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?

	Die Komplementärmengen von $D$ und $E$ sind identisch.
	$F$ ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von $B$.
	Die Mengen $B$, $C$ und $D$ bilden ein vollständiges System.
	Die Mengen $A$, $C$ und $H$ bilden ein vollständiges System.

Musterlösung

Solution

Für die weiteren Mengen gilt:

$D = (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) =$

$=[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}] \cup [\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}] = \{1, 2, 6, 9\}$,

$E = E = (A \cup B) \cap (\bar A \cup \bar B) = (A \cap \bar A) \cup (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) \cup (\bar A \cap \bar B) =$

$= (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\}$,

$F = (A \cup C= \cap \bar B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\}$,

$H = (\bar A \cap \bar C) \cup (A \cap B \cap C) = (\bar A \cap \bar C) \cup \Phi = \{4, 9\}$.

1. Der erste Vorschlag (a1) ist falsch: $A$ und $B$ beinhalten jeweils die „3”.

(a2) ist richtig: Es liegt kein gemeinsames Element vor.

(a3) ist falsch: $B$ und $C$ beinhalten jeweils die „6”.

2. Der erste Vorschlag (b1) ist falsch: Es fehlt die „4”.

(b2) ist richtig : $A \cap B \cap C = \Phi$ (keine Ziffer ist gleichzeitig in $A$, $B$ und $C$ enthalten).

Bildung der Komplementärmenge:

$\overline{A \cap B \cap C} = \bar \Phi = G$.

3. Der erste Vorschlag (c1) ist richtig: Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.

(c2) ist richtig: Allgemein, das heißt für beliebige $X$ und $B$ gilt:

$X \cap \bar B \subset \bar B \Rightarrow$ Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \bar B$

(c3) ist falsch: Beispielsweise sind $B$ und $C$ nicht disjunkt.

(c4) ist richtig:

$A = \{1, 2, 3\},$ $C = \{5, 6, 7, 8\},$ $H = \{4, 9\}.$

Richtig sind also die Vorschläge 1, 2 und 4.