Exercise 1.6Z: Ergodic Probabilities

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Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:

Für die Teilaufgaben a) bis d) wird vorausgesetzt:

• Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

• Nach $B$ ist das Ereignis $A$ doppelt so wahrscheinlich wie $B$.

Ab Teilaufgabe e) sind p und q als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten $Pr(A) = 2/3$ und $Pr(B) = 1/3$ vorgegeben sind.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.4. Zur Ergebniskontrolle können Sie das folgende Berechnungstool nutzen:

Fragebogen

1

Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $p$ und $q$?

$p$ =

$q$ =

2

Berechnen Sie die ergodischen Wahrscheinlichkeiten.

$Pr(A)$ =

$Pr(B)$ =

3

Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist?

$Pr(B_v|A_\text{v-2})$ =

4

Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist, wenn aktuell $B$ auftritt?

$Pr(A_\text{v-2}|B_v)$ =

5

Es gelte nun $p = 1/2$ und $Pr(A) = 2/3$. Welcher Wert ergibt sich für $q$?

$q$ =

6

Wie müssen die Parameter gewählt werden, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich $Pr(A) = 2/3$ gilt?

$p$ =

$q$ =

Musterlösung

Solution

1.  Gemäß der Angabe gilt p = 1 - p, also p = 1/2, und q = (1 - q)/2. Daraus folgt q = 1/3.

2.  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von A gilt:

$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$

Damit ergibt sich Pr(B) = 1 - Pr(A) = 3/7 ≈ 0.429.

3.  Über den Zeitpunkt ν-1 ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann das Ereignis A oder das Ereignis B aufgetreten sein. Deshalb gilt:

$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \\ = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) = \frac{5}{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$

4.  Nach dem Satz von Bayes gilt:

$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 } = \frac{5}{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$

Die Wahrscheinlichkeit Pr(B_ν | A_ν-2) = 5/12 wurde bereits im Unterpunkt 3) berechnet. Aufgrund der Stationarität gilt Pr(A_ν-2) = Pr(A) = 4/7 und Pr(B_ν) = Pr(B) = 3/7. Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit den Wert 5/9.

5.  Entsprechend Punkt b) gilt mit p = 1/2 für die Wahrscheinlichkeit von A allgemein:

$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$

Aus Pr(A) = 2/3 folgt somit q = 0.

6.  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:

$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$

Daraus folgt p = 1 - q = 2/3 und dementsprechend q = 1/3.