Exercise 2.5: "Binomial" or "Poisson"?

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Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen z₁ und z₂, die alle ganzzahligen Werte zwischen 0 und 5 (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt.

Weiterhin ist bekannt, dass

• eine der Größen binomialverteilt ist, und

• die andere eine Poissonverteilung beschreibt.

Nicht bekannt ist, welche der beiden Zufallsgrößen z₁ und z₂ welcher Verteilung folgt.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Lehrinhalte von Kapitel 2.3 und Kapitel 2.4.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie aus den Wahrscheinlichkeiten, den Mittelwerten und den Streuungen, ob z₁ oder z₂ poissonverteilt ist.

	z1 ist poissonverteilt und z2 ist binomialverteilt.
	z1 ist binomialverteilt und z2 ist poissonverteilt.

2

Welche Rate λ weist die Poissonverteilung auf?

$\lambda$ =

3

Die Werte der Poissonverteilung sind nicht auf 0....5 begrenzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die unter a) ermittelte Größe gleich „6“ ist?

$Pr(6)$ =

4

Betrachten Sie nun die Binomialverteilung. Berechnen Sie aus deren Mittelwert und Streuung die charakteristische Wahrscheinlichkeit p.

$p$ =

5

Wie groß ist damit der Parameter I der Binomialverteilung? Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Wahrscheinlichkeit Pr(0).

$I$ =

Musterlösung

Solution

1.  Bei der Poissonverteilung sind Mittelwert m₁ und Varianz σ² gleich. Die Zufallsgröße z₁ erfüllt diese Bedingung  ⇒  Lösungsvorschlag 1.

2.  Bei der Poissonverteilung ist der Mittelwert auch gleich der Rate. Deshalb muss λ = 2 gelten.

3.  Die entsprechende Wahrscheinlichkeit lautet:

$$\rm Pr(z_1 = 6)=\frac{2^6}{6!}\cdot e^{-2}\hspace{0.15cm} \underline{=0.012}.$$

Die Wahrscheinlichkeit Pr(z₁ > 6) ergibt sich zu 1 – Pr(0) – Pr(1) – ... – Pr(6). Es ergibt sich der Zahlenwert Pr(z₁ > 6) ≈ 0.004.

4.  Für die Varianz der Binomialverteilung gilt:

$$\sigma^{\rm 2}=\it I\cdot p\cdot (\rm 1-\it p)=\it m_{\rm 1}\cdot (\rm 1-\it p).$$

Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich damit aus der Varianz <nobr>1.095² = 1.2</nobr> und dem Mittelwert 2 entsprechend der Gleichung:

$$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$

5.  Aus dem Mittelwert m₁ = 2 folgt weiterhin I = 5. Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten:

$$\rm Pr(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot \it p^{\rm 0}\cdot (\rm 1 -\it p)^{\rm 5-0}=\rm 0.6^5=0.078.$$

Das bedeutet: Das Ergebnis ist richtig.