Exercise 3.1: Cosine-square PDF and PDF with Dirac Functions

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Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen x und y.

Die WDF der Zufallsgröße x lautet in analytischer Form:

$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A\rm \cdot \rm cos^2(\frac{\pi}{4}\cdot \it x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm 2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$

Dagegen besteht die WDF der Zufallsgröße y aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den im Bild unten angegebenen Gewichten.

Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale x(t) und y(t), so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich ±2 „amplitudenbegrenzt“ sind. Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Lehrstoff von Kapitel 2.1 und Kapitel 3.1. Es gilt folgende Gleichung:

$$\int \rm cos^{\rm 2}(\it ax)\, {\rm d}x=\frac{\it x}{\rm 2}+\frac{\rm 1}{\rm 4 \it a}\cdot \rm sin(\rm 2\it ax).$$

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen treffen uneingeschränkt zu?

	Die Zufallsgröße x ist wertkontinuierlich.
	Die Zufallsgröße y ist wertdiskret.
	Die Zufallsgröße y ist gleichzeitig zeitdiskret.
	Die WDF sagt nichts aus bzgl. „zeitdiskret/zeitkontinuierlich”.

2

Berechnen Sie den Parameter A der WDF f_x(x).

$A$ =

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass x exakt gleich 0 ist?

$Pr(x\ =\ 0)$ =

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als 0 ist?

$Pr(x\ >\ 0)$ =

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass y größer als 0 ist?

$Pr(y\ >\ 0)$ =

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass y betragsmäßig kleiner als 1 ist?

$Pr(|y|\ <\ 1)$ =

7

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass x betragsmäßig kleiner als 1 ist?

$Pr(|x|\ <\ 1)$ =

Musterlösung

Solution

1.  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4: x ist wertkontinuierlich und y wertdiskret (M = 5). Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.

2.  Die Fläche unter der WDF muss 1 ergeben. Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis A = 0.5.

3.  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße x einen festen Wert x₀ annimmt, ist stets vernachlässigbar klein  ⇒  Pr(x = 0) = 0. Für die wertdiskrete Zufallsgröße y gilt dagegen gemäß der Angabe: Pr(y = 0) = 0.4 (Gewicht der Diracfunktion bei y = 0).

4.  Wegen Pr(x = 0) und der WDF-Symmetrie ergibt sich Pr(x > 0) = 0.5.

5.  Da y eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für y = 1 und y = 2:

$$\rm Pr(\it y >\rm 0) = \rm Pr(\it y = \rm 1) + \rm Pr(\it y = \rm 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$

6.  Das Ereignis „| y | < 1” ist hier identisch mit „y = 0”. Damit erhält man:

$$\rm Pr(|\it y| < \rm 1) = \rm Pr(\it y = \rm 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$

7.  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von -1 bis +1 über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße x. Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:

$$\rm Pr(|\it x|<\rm 1)=\rm 2 \cdot \int_{0}^{1}\frac{1}{2}\cdot cos^2(\frac{\pi}{4}\cdot \it x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=\frac{x}{\rm 2}+\frac{\rm 1}{\pi}\cdot\rm sin(\frac{\pi}{2}\cdot\it x)\Bigg |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.818}.$$