Exercise 4.7: Weighted Sum and Difference
From LNTwww
- Die Zufallsgrößen u und υ seien statistisch voneinander unabhängig, jeweils mit Mittelwert m und Varianz σ2. Beide Größen besitzen gleiche WDF und VTF; über den Verlauf dieser Funktionen sei zunächst nichts bekannt.
- Es werden nun zwei neue Zufallsgrößen x und y entsprechend den nachfolgenden Gleichungen gebildet:
- $$x = A \cdot u + B \cdot v,$$
- $$y= A \cdot u - B \cdot v.$$
- Hierbei bezeichnen A und B (beliebige) konstante Werte. Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte m = 0, σ = 1, A = 1 und B = 2.
- Bei der Teilaufgabe (5) wird vorausgesetzt, dass u und υ jeweils gaußverteilt mit Mittelwert m = 1 und Streuung σ = 0.5 seien. Für die Konstanten gelte A = B = 1.
- Für die Aufgabe (6) seien die Zufallsgrößen u und υ symmetrisch zweipunktverteilt auf ±1:
- $${\rm Pr}(u=1) = {\rm Pr}(u=-1) = {\rm Pr}(v=1) = {\rm Pr}(v=-1) =0.5.$$
- Außerdem gelte weiterhin A = B = 1.
- Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Da die Zufallsgrößen u und υ mittelwertfrei sind (m = 0), ist auch die Zufallsgröße x mittelwertfrei: mx = (A + B) · m = 0. Für die Varianz und die Streuung gelten:
- $$\sigma_x^2 = (A^2 +B^2) \cdot \sigma^2 = 5; \hspace{0.5cm} \sigma_x = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 2.236}.$$
- 2. Da u und υ die gleiche Streuung besitzen, gilt auch σy = σx ≈ 2.236. Wegen m = 0 gilt zudem my = 0. Bei mittelwertbehafteten Zufallsgrößen u und υ ergäbe sich für my = (A – B) · m dagegen ein anderer Wert als für mx = (A + B) · m.
- 3. Wir gehen hier von dem allgemeineren Fall m ≠ 0 aus. Dann gilt für das gemeinsame Moment:
- $$m_{xy} = {\rm E} [x \cdot y ] = {\rm E} [(A \cdot u + B \cdot v) (A \cdot u - B \cdot v)] . $$
- Nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte folgt daraus:
- $$m_{xy} = A^2 \cdot {\rm E} [u^2 ] - B^2 \cdot {\rm E} [v^2 ] = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2).$$
- Die Kovarianz ergibt sich dann zu
- $$\mu_{xy} = m_{xy} - m_{x} \cdot m_{y}= \\ = (A^2 - B^2)(m^2 + \sigma^2) - (A + B)(A-B) \cdot m^2 = (A^2 - B^2) \cdot \sigma^2.$$
- Mit A = 1, B = 2, σ = 1 erhält man μxy = –3, unabhängig vom Mittelwert m der Größen u und υ.
- 4. Der Korrelationskoeffizient ergibt sich zu
- $$\rho_{xy} =\frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{(A^2 - B^2) \cdot \sigma^2}{(A^2 +B^2) \cdot \sigma^2} $$
- $$\Rightarrow \rho_{xy} =\frac{1 - (B/A)^2} {1 +(B/A)^2}.$$
- Mit B/A = 2 folgt daraus ρxy = –0.6.
- 5. Aus B = 0 folgt ρxy = 1 (strenge Korrelation). Aus den Gleichungen für x und y erkennt man weiter, dass in diesem Fall x und y identische Zufallsgrößen sind.
- Die zweite Aussage ist nicht zutreffend: Für A = 1 und B = –2 ergibt sich ebenfalls ρxy = –0,6. Das Vorzeichen des Quotienten spielt also keine Rolle, weil in der unter (d) berechneten Gleichung B/A nur quadratisch auftritt.
- Ist B sehr viel größer als A, so werden sowohl x als auch y fast ausschließlich durch die Zufallsgröße υ bestimmt und es ist y ≈ –x. Dies entspricht dem Korrelationskoeffizienten ρxy = –1. Dagegen ergibt sich für B/A = 1 stets der Korrelationskoeffizient ρxy = 0 und damit die Unkorreliertheit zwischen x und y.
- Richtig sind somit die Aussagen 1, 3 und 4.
- 6. Bei A = B sind x und y stets (d. h. bei jeder beliebigen WDF der Größen u und υ) unkorreliert. Die neuen Zufallsgrößen x und y sind ebenfalls gaußverteilt. Bei Gaußschen Zufallsgrößen folgt aber aus der Unkorreliertheit auch die statistische Unabhängigkeit und umgekehrt. Also sind beide Aussagen richtig.
- 7. Der Korrelationskoeffizient ergibt sich mit A = B = 1 auch hier zu ρxy = 0. Das heißt, dass x und y unkorreliert sind. Dagegen erkennt man aus der nachfolgend skizzierten 2D-WDF, dass die Bedingung der statistischen Unabhängigkeit im nun vorliegenden Fall nicht mehr gegeben ist. Vielmehr gilt: fxy(x, y) ≠ fx(x) · fy(y). Hier ist also nur die Aussage 1 zutreffend.
