Exercise 4.8: Diamond-shaped Joint PDF

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Wir betrachten eine 2D–Zufallsgröße (x, y), deren Komponenten sich jeweils als Linearkombinationen zweier Zufallsgrößen u und υ ergeben:

$$x=2u-2v+1,$$

$$y=u+3v.$$

Die beiden statistisch unabhängigen Zufallsgrößen u und υ sind jeweils gleichverteilt zwischen 0 und 1.

In der Abbildung sehen Sie die 2D–WDF. Innerhalb des blau eingezeichneten Parallelogramms gilt:

$$f_{xy}(x, y) = H.$$

Außerhalb sind keine Werte möglich.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3, insbesondere auf die Seite Korrelationsgerade. Gehen Sie - wenn möglich - von den zwei angegebenen Gleichungen aus und nutzen Sie die Informationen der obigen Skizze vorwiegend nur zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse.

Fragebogen

1

Wie groß ist die Höhe H der 2D–WDF innerhalb des Parallelogramms?

$H$ =

2

Welche Werte von u und υ liegen dem Eckpunkt (–1, 3) zugrunde?

$u$ =

$v$ =

3

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten.

$\rho_\text{xy}$ =

4

Wie lautet die Korrelationsgerade y = K(x)? Bei welchem Punkt y₀ schneidet diese die y-Achse?

$y_0$ =

5

Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion f_x(x). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße x negativ ist.

$Pr(x < 0)$ =

6

Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion f_y(y). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße y größer als 3 ist?

$Pr(y > 3)$ =

Musterlösung

Solution

1.  Die Fläche des Parallelogramms kann aus zwei gleich großen Dreiecken zusammengesetzt werden. Die Fläche des Dreiecks (1,0)(1,4)(–1,3) ergibt 0.5 · 4 · 2 = 4. Somit ist die Gesamtfläche F = 8. Da das WDF-Volumen stets 1 ist, gilt H = 1/F = 0.125.

2.  Der minimale Wert von x ergibt sich für u = 0 und υ = 1. Daraus folgen aus obigen Gleichungen die Ergebnisse x = –1 und y = 3.

3.  Die im Theorieteil angegebene Gleichung gilt allgemein, d. h. für jede beliebige WDF der beiden statistisch unabhängigen Größen u und υ, so lange diese gleiche Streuungen aufweisen.

Mit A = 2, B = –2, D = 1 und E = 3 erhält man:

$$\rho_{xy } = \frac {\it A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(\it A^{\rm 2}+\it B^{\rm 2})(\it D^{\rm 2}+\it E^{\rm 2})}} =\frac {2 \cdot 1 -2 \cdot 3}{\sqrt{(4 +4)(1+9)}} = \frac {-4}{\sqrt{80}} = \frac {-1}{\sqrt{5}}\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.447}. $$

4.  Die Korrelationsgerade lautet allgemein:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x-m_x)+m_y.$$

Aus den linearen Mittelwerten m_u = m_υ = 0.5 und den in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen erhält man m_x = 1 und m_y = 2.

Die Varianzen von u und υ betragen jeweils 1/12. Daraus folgt:

$$\sigma_x^2 = 4 \cdot \sigma_u^2 + 4 \cdot \sigma_v^2 = 2/3,$$

$$\sigma_y^2 = \sigma_u^2 + 9\cdot \sigma_v^2 = 5/6.$$

Setzt man diese Werte in die Gleichung der Korrelationsgeraden ein, so ergibt sich:

$$y=K(x)=\frac{\sqrt{5/6}}{\sqrt{2/3}}\cdot (\frac{-1}{\sqrt{5}})\cdot(x-1)+2= - \frac{x}{2} + 2.5.$$

Daraus folgt der Wert y₀ = 2.5.

5.  Mit den Hilfsgrößen q = 2u, r = –2υ und s = x – 1 gilt der Zusammenhang: s = q + r. Da u und υ jeweils zwischen 0 und 1 gleichverteilt sind, besitzt q eine Gleichverteilung im Bereich von 0 bis 2 und r eine Gleichverteilung zwischen –2 und 0.

Da zudem q und r nicht statistisch voneinander abhängen, gilt für die WDF der Summe:

$$f_s(s) = f_q(q) \star f_r(r).$$

Die Addition x = s + 1 führt zu einer Verschiebung der Dreieck–WDF um 1 nach rechts. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit (im folgenden Bild grün hinterlegt) gilt deshalb: Pr(x < 0) = 0.125.

6.  Analog zur Musterlösung für die Teilaufgabe e) gilt mit t = 3υ:

$$f_y(y) = f_u(u) \star f_t(t).$$

Die Faltung zwischen zwei unterschiedlich breiten Rechteckfunktionen ergibt ein Trapez. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man Pr(y > 3) = 1/6. Diese ist im nachfolgenden Bild grün hinterlegt.