Exercise 4.16: Eigenvalues and Eigenvectors
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- Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als N = 2 Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.
- In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix Kx der 2D–Zufallsgröße x = (x1, x2)T angegeben, wobei σ12 und σ22 die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben. ρ bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.
- Die Zufallsgrößen y und z geben zwei Spezialfälle von x an, deren Prozessparameter aus den Kovarianzmatrizen Ky und Kz bestimmt werden können.
- Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.7. Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den folgenden Seiten:
Determinante einer Matrix,
Inverse einer Matrix.
Weiterhin ist zu beachten:
- Eine 2×2-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte λ1 und λ2.
- Eine 2×2-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte λ1 und λ2.
- Die beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren ξ1 und ξ2 und diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.
- Entsprechend der Seite Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen ist der Winkel α zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:
- $$\alpha = \frac{1}{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
Fragebogen
Musterlösung
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